Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Reeksontwikkeling

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De integraal van f (x) = x^m ln (ax)

De integraal van f (x) = x^p ln (ax)

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De naam van een zwart gat

De integraal van f (x) = x^p cos (ax)

De integraal van f (x) = x^p sin (ax)

Leid de Boltzmann-verdeling af

De integraal van f (x) = (ax² + bx + c) e^{− (ax² + bx + c)}

De integraal van f (x) = x² e^−ax²

Bereken de energie in een condensator

Bereken de energie in een spoel

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De afgeleide van f (x) = x!

Kabouters en de uitdijing van het heelal

De Riemann-zeta-functie

Hoe manifesteert zich ruimtetijdkromming?

Bernoulli-getallen

De faculteitsfunctie

Waarom Homo Sapiens?

De trapeziummethode

De integraal van f (x) = xⁱ

De integraal van f (x) = sin ln (ax)

De integraal van f (x) = cos ln (ax)

De integraal van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 (D < 0)

LaTeX symbolen: wiskundige ruimtes

Afleiding van de energie-impuls-relatie

De reis naar de werkelijkheid van Rolando Toro

De Excel bestanden die gebruikt zijn voor deze website

De Python code van deze website

De Natuur spreekt: Het Woud

De Natuur spreekt: De Golf

Het probleem van de gevangenen

Mijn nieuwe fiets

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub Gℏc

Natuurkundeclub Gℏc (openbare pagina)

Natuurkundeclub Gℏc (besloten pagina)

Stamboom Contact

Reeksontwikkeling

We danken het aan de Engelse wiskundige Brook Taylor dat we nu weten dat een wiskundige functie ook te schrijven is als een polynoom, een functie met allemaal machten van x. Dit bereiken we door de functie telkens weer te differentiëren. Dat ziet er dan als volgt uit (we ontwikkelen vanuit het startpunt x = a en we sommeren over n = 0, 1, 2, 3, 4, enzovoort):

Dit noemen we reeksontwikkeling. Hierin is f ⁿ de n^e afgeleide van f (x). Het kan handig zijn om de reeks rond een bepaald punt, x = a, te ontwikkelen maar doorgaans mag voor a gewoon nul gekozen worden:

Voor een e-macht ziet dat er bijvoorbeeld als volgt uit (waaraan je ook kunt zien dat de e-macht zijn eigen afgeleide is):

Dit helpt ons bij het integreren van deze functie:

De integraal wordt dan:

We hebben natuurlijk liever een beknopter antwoord, maar in dit computertijdperk is een oplossing zoals hierboven eigenlijk geen probleem meer. Wees er bij deze methode wel op bedacht of de reeks voor alle waarden van x werkt, dus dat de reeks altijd convergeert.

Meer integralen waarbij deze integratiemethode is toegepast:

Integrand	Primitieve
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking

Door naar de volgende integratiemethode: kwadrateren van de integraal

Terug naar de vorige integratiemethode: overgaan naar een andere variabele

Naar de overzichtspagina met integratiemethoden

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(−a² + x²)^1/2

De integraal van
f (x) = cos x sin³ x/(1 − a² sin² x)^p

De integraal van
f (x) = 1/sin⁸ (ax)

De integralen van
f (x) = xⁿ e^−ax²

Vectoren, vraagstuk 34

Vectoren, vraagstuk 72

Vraagstukken xref voor de UT

De Taylor-reeks van
f (x) = (1 + x)^p

De Taylor-reeks van
f (x) = (a + x)^1/3

De schipbreukeling op het eiland

Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 8: rekenvoorbeelden

De ontsnappingssnelheid

Het relativistische impulsmoment van een holle bol

Elektriciteit en magnetisme

Terugkijkend vanaf je sterfbed, wat ga je NU doen?

De illusie van versheid

Trump en de schoonheid van de werkelijkheid

Reacties op lezingen

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

Naar de overzichtspagina wiskunde

Naar de overzichtspagina natuurkunde

Naar de overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2024