De integraal van
f (x) = 1/(ax2 − bx)1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax2 − bx)1/2

De grafiek van f (x) = 1/(ax2 − bx)1/2 voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), b = 4
Ik ga allereerst de integraal anders opschrijven:
Ik stel:
De integraal wordt dan:
De oplossing van de integraal van 1/sin x kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:
Nu moet t uiteraard weer vervangen worden door x:
Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:
Tot slot wil ik nog opmerken dat je de area cosinus hyperbolicus kunt omschrijven naar een natuurlijke logaritme, en vice versa, als volgt:
De oplossing van deze integraal kan ik daarom ook als volgt opschrijven:

De grafiek van F (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), b = 4, c = 0
Ik ben de linkerhelft van de grafiek kwijt! Dat komt omdat ik x vervangen heb door sin2 en daardoor raken de plussen en minnen in het ongerede. Door op de juiste plekken mintekens toe te voegen ontstaat de volgende grafiek.

De grafiek van F (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), b = 4, c = 0
Door de beide voorgaande grafieken handmatig samen te voegen kom ik tot het eindantwoord.

De grafiek van F (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), b = 4, c = 0