Vectoren, vraagstuk 35

Gegeven is het scalarveld:
Bereken de richtingsafgeleide van G in a in de richting van a naar b, waarbij:


De grafiek van G (x, y, z) = 2x2 − y2 + z2 voor z = 0

De grafiek van G (x, y, z) = 2x2 − y2 + z2 voor z = 1

De grafiek van G (x, y, z) = 2x2 − y2 + z2 voor z = 2

De grafiek van G (x, y, z) = 2x2 − y2 + z2 voor z = 3
Om de gradiënt van G te berekenen bepalen we eerst alle partiële afgeleiden:


Daarmee is de gradiënt van G in een willekeurig punt:
Vervolgens vullen we het punt a in:
De richting van a naar b is:
De gradiënt in de richting van u is de projectie van G op u, oftewel Gu. Dit is | Gu | maal een ‘eenheidsstukje’ van u, dus:
We rekenen nu eerst het inwendig product G ∙ u uit:
En vervolgens | u |2:
Daarmee wordt de projectie:
Met als norm:
Oftewel: