Vectoren, vraagstuk 42
-
Maak een schets van D.
Een plaatje van het integratiegebied D ziet er als volgt uit, allereerst bekijken we de doorsnede y-z voor enkele x-waarden (x = 0, x = 1, x = √2):Dit is de doorsnede x-y voor enkele z-waarden (z = 0.01, z = 1, z = 4):
Het is een soort omgekeerde kegel (met de punt dus naar beneden) met de top in de oorsprong (dus de straal van de kegel is nul voor z = 0) en een straal van √2 voor z = 2. De wanden van de kegel zijn niet recht maar worden beschreven door een parabool. We hebben dus niet te maken met een kegel maar met een paraboloïde. Datgene wat groen is is het integratiegebied (alleen het eerste kwadrant, dus het is een kwart paraboloïde).
Een paraboloïde -
Schrijf de volgende integraal
als herhaalde integraal:
Alle grenzen zijn al gegeven, en door de integratievolgorde om te keren wordt de integraal:
Het is natuurlijk wel leuk om de integraal dan ook ‘effe’ uit te rekenen:
De oplossing van de integraal van (2 − x2)1/2 kun je vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van x2 (2 − x2)1/2 kun je ook vinden in de tabel met integralen. Het eindresultaat wordt dan:
Dit is waarschijnlijk veel handiger in cilindercoördinaten:
Voor de bovengrens van r geldt:
Waarmee de integratiegrenzen worden:
De integraal wordt dan:
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 43
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 41
Naar de overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 62
Tabel met Taylor-reeksen
De Taylor-reeks van
De stelling van Gauss
Relativiteitstheorie basic, hoofdstuk 7: kromming
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 21
Afleiding van de Reissner-Nordström-oplossing
De naam van een zwart gat
Kwantummechanica
Afleiding van de wet van Betz
De illusie van de barracuda
De reis naar de werkelijkheid van Carl Jung
Totaal verlies van controle
De Natuur spreekt: The Coral Reef/Het Koraalrif
Voorbeelden van E = mc2
De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt
De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt
De Euler-Lagrange-vergelijking
De baan van een baksteen bij een zwart gat
De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)
De integralen van f (x) = sin2 x/(1 + a cos x)2
De integraal van f (x) = 1/(x2 (ax2 + bx + c))
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
Naar de overzichtspagina wiskunde
Naar de overzichtspagina natuurkunde
Naar de overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen