Vectoren, vraagstuk 66

Het oppervlak S is de grafiek van de functie:
Het vectorveld v is gegeven door:
  1. Geef een parametrisering van S.
  2. Bereken een naar boven gerichte normaal op S (hoeft niet genormeerd te worden).
  3. Bereken de volgende integraal, waarbij A is georiënteerd volgens de naar boven gerichte normaal:

De grafiek van f (x, y) = x + y + 1

Het vectorveld v
  1. Geef een parametrisering van S.

    Als we stellen dat:
    Dan kunnen we het oppervlak S ook schrijven als:
    Vervolgens kunnen we ook nog simpelweg stellen dat:

    Waaruit volgt voor z:
    De beschrijving van S wordt dan:
  2. Bereken een naar boven gerichte normaal op S (hoeft niet genormeerd te worden).

    We kunnen S nog anders opschrijven als volgt:
    Want door dit uit te schrijven in componenten krijgen we weer:


    Een normaalvector volgt dan uit het uitwendig product van de twee richtingsvectoren:
    Of ik kan eerst de partiële afgeleiden bepalen:

    Het uitwendig product van deze twee vectoren levert wederom een normaalvector op:
    Hiervoor is gesteld dat:

    Daarom kunnen we de partiële afgeleiden ook rechtstreeks bepalen naar x en y:

    Het uitwendig product van deze twee vectoren levert ook in dit geval de volgende normaalvector op:
    Ik ga de normaalvector nu uitrekenen:
    De z-component is 1, dus altijd positief, dus n is altijd naar boven gericht.
  3. Bereken de volgende integraal, waarbij A is georiënteerd volgens de naar boven gerichte normaal:
    Omdat geldt dat:

    Hierdoor kunnen we voor het vectorveld v ook schrijven:
    De vector dA is (in dit geval) gelijk aan de normaalvector die we reeds berekend hebben:
    Het inwendig product van deze twee vectoren levert op:
    De uitwerking van de integraal wordt dan: