Tensoren, vraagstuk 10

Wat is de Bianchi-identiteit?

Dit is de Riemann-tensor:

Ik ga de Riemann-tensor driemaal opschrijven waarbij de benedenindices telkens een andere positie innemen (of heel netjes gezegd: ik laat ze cyclisch permuteren):


Vervolgens ga ik de vergelijkingen (2a), (2b) en (2c) bij elkaar optellen:

Ik dien nu te bedenken dat de Christoffel-symbolen symmetrisch zijn in de eerste twee indices (de bovenindices):

Met dit in mijn achterhoofd kan ik alle termen in het rechterlid van vergelijking (3) tegen elkaar wegstrepen:

Aldus komen we tot de Bianchi-identiteit:

Dit impliceert dat er een afhankelijkheid zit in de componenten van de Riemann-tensor. En niet eentje, maar een heleboel. In twee dimensies gaat het om 24 = 16 afhankelijke relaties, in drie dimensies zijn het er 34 = 81 en in vier dimensies betreft het maar liefst 44 = 256 relaties. Hebben we daar ook wat aan? Daarover gaat het volgende vraagstuk.

Lees ook: