Zoals wel vaker gebeurt kan Einstein in één zin stappen maken die voor ‘gewone’ mensen reuzenstappen zijn. Hele grote reuzenstappen zelfs. Zijn openingszin van deze paragraaf is er zo eentje. Teneinde te bewijzen dat de veldvergelijkingen voldoen aan de wetten van behoud van energie en impuls zegt hij doodleuk dat het wel handig is om de veldvergelijkingen in de volgende Hamiltonse vorm te schrijven:

De Hamiltonse vorm hebben we te danken aan, en is vernoemd naar, de Ierse wiskundige William Hamilton. Het principe van Hamilton luidt:

Ik noem de kinetische energie T, de potentiële energie U en het verschil tussen beide L. De functie van Lagrange of kortweg de Lagrangiaan is vernoemd naar Joseph-Louis Lagrange en luidt:

Het principe van Hamilton is daarmee te schrijven als: Hierin noemen we S de actie en vergelijking (15.5) wordt daarom vaak aangeduid als de actieintegraal. En omdat volgens het principe van Hamilton de actie altijd minimaal is moet dus gelden: Deze simpele vergelijking herbergt heel veel fundamentele kracht. Stel je fietst van A naar B. Wat is dan de meest energiezuinige manier van fietsen? Je potentiële energie is gedurende de rit constant (ik neem gemakshalve aan dat er geen heuvels in het traject zitten) en de kinetische energie (1/2 mv²) varieert met de snelheid. De actieintegraal wordt dan: En hier komt een minimum uit voor een snelheid v die constant is. In alle andere gevallen zal bovenstaande integraal een hogere uitkomst geven. Ook al zou je eerst heel hard fietsen en daarna je benen helemaal stil houden en uitrijden tot het einde van het traject, dan nog zal deze strategie meer inspanning kosten (let op: onder de voorwaarde dat ∆t gelijk blijft).

Een ander voorbeeld, stel ik gooi een balletje omhoog die een eindje verderop de grond raakt. Op tijdstip t₁ verlaat het balletje mijn hand en op tijdstip t₂ raakt het balletje de grond. Gedurende het traject bezit het balletje kinetische energie (1/2 mv²) en potentiële energie (mgh, h is de hoogte) die beide variëren als functie van de tijd. De actieintegraal wordt in dit geval: Indien ik een energiezuiniger traject wil vinden dan zal ik onderweg afwijken van het natuurlijke traject dat het balletje volgt. Deze afwijking noem ik ζ en hoe ik die afwijking realiseer is een ander probleem waar we ons hier niet druk om maken. Hierdoor wijzigt de actieintegraal als volgt: Nu ga ik het principe van Hamilton inzetten, alle termen waar ζ niet in voorkomt vallen er dan uit: De δ operator is een ‘differentieerachtig ding’ van de eerste orde. We zoeken dus naar eerste orde variaties en kunnen termen van hogere orde buiten beschouwing laten. De tweede term aan de rechterkant valt er daarom uit: Nu ga ik de linkerintegraal partieel integreren: Het deel dat resulteert uit het partieel integreren is nul want de variatie aan de grenzen van het traject, op de momenten t₁ en t₂, is nul. En de tweede afgeleide van h naar de tijd is een verticale versnelling en die heb ik a genoemd. Tenslotte stelt het principe van Hamilton dat δS nul moet zijn: De energiezuinigste route is toch echt die waarbij de natuur gewoon zijn werk doet, dus waarbij ζ = 0. Daarom hulde aan Hamilton! Dit principe van Hamilton wordt ook wel het principe van de kleinste - of minste - of geringste actie genoemd. Eén van de grondregels in dit universum is kennelijk dat ‘dingen’ van nature bewegen volgens de meest efficiënte (lees: energiezuinigste) route. In beeldspraak verwijzen we er vaak naar als ‘de weg van de minste weerstand’ of binnen de context van relativiteitstheorie als ‘een geodetische lijn volgen’.

Met andere woorden, wat Einstein net heeft neergeschreven aan het begin van deze paragraaf in Hamiltonse vorm moet overeenkomen met de vergelijking van de geodetische lijn. De δ operator zijn we in paragraaf 9 ook al tegengekomen toen we op zoek gingen naar de vergelijking van de geodetische lijn. Deze operator ‘onderzoekt’ variaties want in paragraaf 9 wilden we weten of een bepaald pad langer of korter is dan het pad dat een ‘stukje verderop’ ligt. En met dτ, een volume-element van de vierdimensionale ruimtetijd, hebben we in paragraaf acht al kennis gemaakt: Door de functie H te integreren over een volume-element dτ en uiteindelijk de variaties te nemen aan de grenzen van het ‘stuk’ vierdimensionale ruimtetijd zal daar nul uitkomen en dat is wat vergelijking (15.1/E47a) zegt. En uiteraard dient vergelijking (15.1/E47a) equivalent te zijn aan wat we in paragraaf 14 gevonden hebben: Het eerste punt van aandacht is dus het bewijs dat de vergelijkingen (14.5/E47) en (15.1/E47a) van Einstein met elkaar overeenkomen. Allereerst brengen we de δ operator van vergelijking (15.1/E47a) binnen de integraal. Net als de d en de ∂ is de δ een differentieer-achtig ‘ding’, en of je de integraal neemt van een afgeleide of de afgeleide van een integraal maakt niets uit: Nu ga ik de term δH uitwerken:

Even een tussendoortje. Het Christoffel-symbool van de eerste soort is gedefinieerd als:

Het Christoffel-symbool van de tweede soort is gedefinieerd als: Waaruit volgt voor Γ: Vergelijking (15.18) gaan we gebruiken in vergelijking (15.15): De Christoffel-symbolen zijn symmetrisch in de eerste twee indices en die mag ik daarom probleemloos van plaats verwisselen. Dat ga ik doen, ik verwissel μ en β van plaats in de rechterterm van bovenstaande vergelijking: De indices λ en ν zijn dummy indices en die mag ik iedere willekeurige naam geven en dus ook (in naam) verwisselen: En tenslotte verwissel ik de indices van plaats bij de partiële afgeleiden van g, en ook dat mag want de tensor g is immers ook symmetrisch: Als ik nu de vergelijkingen (15.19) en (15.22) met elkaar vergelijk dan zie ik dat door het verwisselen van de indices μ en β de laatste twee termen met de partiële afgeleiden van g van plaats wisselen, of beter gezegd: ze wisselen van teken. Door de symmetrie in de eerste twee indices van het Christoffel-symbool dat voor de δ operator staat vallen deze twee partiële afgeleiden tegen elkaar weg, ze werken even vaak ‘de ene kant’ op als ‘de andere kant’. Vergelijking (15.22) vereenvoudigt daarmee tot: Ik roep vergelijking (11.18/E31) even in herinnering: Hiermee kan ik vergelijking (15.23) schrijven als: Ik ga nu een nieuwe notatie introduceren, ik schrijf: Let op de komma voor de α ter aanduiding dat er gedifferentieerd wordt naar x^α. Ook op dit punt wijkt de hier gebruikte notatie van Einstein af want hij laat namelijk consequent de komma weg. Dingen compact opschrijven is prima, maar waar liggen de grenzen van de overblijvende duidelijkheid? Het is tegenwoordig gebruikelijk om de komma erin te zetten en ik sluit mij daar bij aan.

Vergelijking (15.24) wordt dan: Vergelijking (15.27) heb ik er gelijk bij gezet om de volgende stap gemakkelijker te maken. Partieel differentiëren van vergelijking (15.26) levert het volgende op: Ik stel deze vergelijking op: Vervolgens vul ik in wat ik zojuist bereikt heb met vergelijking (15.28/15.29/E48): En hier staat inderdaad weer hetzelfde als in vergelijking (14.5/E47) uit de vorige paragraaf. Een belangrijk resultaat want dit laat zien dat het volgen van een geodetische lijn inderdaad overeenkomt met het principe van Hamilton en voldoet aan de minste actie.

Weer even een tussendoortje. Omdat het tijdens het differentiëren niet uitmaakt of ik eerst naar de ene variabele differentieer en vervolgens naar de andere of andersom, geldt voor een willekeurige functie f: Voor de metrische tensor is dit niet anders: Wanneer ik, hieruit volgend, dan bedenk dat: Ik ga nu gebruik maken van deze kennis wanneer ik vergelijking (15.30/E47b) vermenigvuldig met g_,σ^μν: Wellicht ten overvloede, dit is niet waar: Dit is wel waar: Zoals je ook kunt zien in vergelijking (15.27). Vergelijking (15.34) wordt dan: Dit resultaat ga ik een beetje verbouwen: Hierin is κ een constante en de invoering van de factor −2κ zal later duidelijk worden. Zo hebben we dit resultaat verkregen: Ik sleep vergelijking (11.23/E34) er even bij: Samen met de vergelijkingen (15.2/E47a) en (15.29/E48) ga ik hiermee vergelijking (15.40/E49) anders schrijven: Einstein wijst er op dat t_σ^α geen tensor is en hij wijst er nogmaals op dat dit resultaat geldt voor alle coördinatenstelsels waarvoor geldt dat √(−g) = 1.

We gaan ‘even’ een zijweggetje in. Stel ik heb deze kubus: Dit is een infinitesimaal klein kubusje waar iets doorheen stroomt. Dat ‘iets’ kan water zijn of lucht of een of ander veld of energie of wat dan ook. Datgene dat door de kubus stroomt noem ik flux en dat geef ik aan met de letter Φ. En deze flux zal niet altijd en overal gelijk zijn, dat zou wel heel bijzonder zijn, en Φ is daarom een functie van x, y, z en t. Bovendien is de flux een vectorgrootheid want hij heeft grootte én richting. Dit samengevat: Als we dan bijvoorbeeld de rechterwand van de kubus beschouwen dan is de flux door die rechterwand gelijk aan (waarbij ik de x, y, z, t aanduiding vanaf nu weglaat): Hierin is ξ de hoek tussen de flux en het oppervlak want alleen de component van de flux die loodrecht door het oppervlak stroomt, stroomt er echt doorheen. De component van de flux die gevormd wordt door cos ξ stroomt in het oppervlak en dus niet door het oppervlak de kubus uit. De grootte van de rechterwand is dy dz en die speelt ook mee, want hoe groter de rechterwand hoe meer flux er doorheen zal stromen. Verder neem ik aan dat ik de flux, die een functie is van x, y, z en t, constant mag beschouwen over dit infinitesimaal kleine rechterwandoppervlak. Ik kan dy en dz natuurlijk ook als vectoren beschouwen want ze hebben grootte en richting. Door het uitwendig product te nemen van dy en dz ontstaat een nieuwe vector die een grootte heeft gelijk aan het oppervlakje dat door dy en dz opgespannen wordt: Voor de flux door de rechterwand kan ik dan ook schrijven: De vector dA staat loodrecht op het oppervlak, het is een normaalvector, en het gaat nu dus om de complementaire hoek van ξ die ik φ heb genoemd. Maar nu staat er een inwendig product! Ik kan ook schrijven: Indien het kubusje niet infinitesimaal klein is dan zal ik moeten integreren: De netto flux door de kubus is dan de som van de fluxen door alle wanden: Hierbij moet ik wel goed opletten dat de vector dA steeds naar buiten wijst want anders ben ik niet aan het optellen. Dit resultaat kunnen we ook korter opschrijven: De cirkel door de integraaltekens betekent dat je integreert over het totale oppervlak van het betreffende object, in dit geval de kubus.

We kunnen dit probleem ook anders benaderen. Om te beginnen kijken we alleen in de x-richting. Door de linkerwand komt flux binnen: En die flux gaat er door de rechterwand weer uit vermeerderd/verminderd met een beetje dΦ (deze dΦ komt erbij vanuit de y-richting of z-richting of is juist afgebogen naar de y-richting of z-richting): Daarmee wordt de netto flux in de x-richting: Voor de y-richting en de z-richting krijg ik soortgelijke resultaten: De totale flux door de kubus is dan: Ik roep even in herinnering: Daarmee kan ik vergelijking (15.55) ook schrijven als: Door te integreren over het totale volume van de kubus vind ik de netto flux door de kubus: De vergelijkingen (15.49) en (15.58) geven beide de flux door de kubus en die kan ik dus aan elkaar gelijk stellen: Ik ben deze afleiding begonnen met een infinitesimaal klein kubusje maar toen ik ging integreren maakte het eigenlijk helemaal niet meer uit wat de vorm was van het object. In vergelijking (15.59) kan ik de kubus-aanduiding net zo goed weglaten: Deze vergelijking is nu wereldberoemd als de stelling van Gauss. Een speciaal geval is wanneer de netto flux door een gesloten oppervlak nul is: Dan geldt dus ook: Met andere woorden, indien de flux door het gesloten oppervlak van een willekeurig volume nul is dan is de divergentie van de flux binnen dat volume ook nul. Vergelijking (15.62) ga ik iets anders opschrijven: Vergelijk vergelijking (15.63) eens met vergelijking (15.39/E49): Indien ik in vergelijking (15.63) Φ vervang door t_σ dan staat er hetzelfde! Einstein zegt ook dat vergelijking (15.41/E50) de behoudswetten uitdrukt voor impuls en energie voor het zwaartekrachtveld. Want als er geen netto flux is door het oppervlak dat een bepaald volume omsluit dan blijft per saldo alles wat er in zit binnen en alles wat er buiten is buiten. Dus vergelijking (15.63) drukt een behoudswet uit en datzelfde geldt daarom ook voor vergelijking (15.39/E49). Laten we maar eens kijken hoe dat uitpakt: Inderdaad zien we hier iets soortgelijks staan als in vergelijking (15.60), de stelling van Gauss. Het minteken is er in de voorlaatste stap uitgevallen omdat Einstein uitgaat van een normaalvector die naar binnen gericht is in plaats van naar buiten. De α_n zijn er in gekomen en stellen de cosinussen voor zoals we ook zien staan in vergelijking (15.46). De t_σ^α duiden we vanaf nu aan als de energiecomponenten van het zwaartekrachtveld.

Einstein heeft tenslotte nog een derde route in gedachten om de volgende vergelijkingen te bewerken: Vergelijking (14.5/E47) ga ik vermenigvuldigen met g^νσ: Wanneer ik bedenk dat: Met behulp van vergelijking (11.23/E34), die ik al eerder gebruikte in deze paragraaf, kan ik dit ook schrijven als volgt: Ik herbenoem even wat indices: Aldus wordt vergelijking (15.65): En vergelijking (15.41/E50) kan ik ook schrijven als: Door de vergelijkingen (15.66) en (15.67) te combineren en de indices te herschikken ontstaat: Ik stel nu dat: En vergelijking (15.69) ga ik gebruiken in combinatie met vergelijking (15.41/E50): Dit resultaat stop ik tot slot in vergelijking (15.68): Zo zijn we aan het slot gekomen van deze paragraaf. De vergelijkingen die tot nu toe afgeleid zijn zijn de vergelijkingen voor lege ruimtes, ruimtes waar alleen maar zwaartekracht is en verder helemaal niets. In de volgende paragraaf gaat dat veranderen.