Het traagheidsmoment van een homogene oblate ster
Bereken het traagheidsmoment van een homogene afgeplatte ster.
Massa is een maat voor de weerstand tegen snelheidsverandering.
Mijn massa is ongeveer 85 kilogram, dus als je mij in beweging wilt krijgen, of juist tot stoppen wilt
dwingen, dan zul je 85 kilogram weerstand moeten overwinnen.
En daar zul je even je best voor moeten doen, en daarom spreken we in deze context ook wel over
trage massa of traagheid.
Iets dat draait (of niet draait) heeft ook weerstand tegen snelheidsverandering (in dit geval de snelheid
van het ronddraaien).
Maar hier is nog een extra parameter in het spel, namelijk de afstand tot de rotatie-as.
Wanneer je mij op een draaibaar plateau zet (in het midden) dan zul je veel minder moeite hebben om mij
in beweging te krijgen, dan wanneer je mij in een draaimolen zet waarbij ik op een afstand van enkele
meters van de rotatie-as zit (afgezien daarvan dat je dan ook nog de draaimolen in gang moet zetten).
Deze weerstand heet het traagheidsmoment.
De wiskundige definitie van het traagheidsmoment is:
Of in woorden: van een bepaald voorwerp met massa m moet ieder infinitesimale deelstukje dm vermenigvuldigd
worden met het
kwadraat
van de
loodrechte afstand tot de rotatie-as en vervolgens opgeteld worden voor alle deelstukjes dm.
Met andere woorden: er moet
geïntegreerd
worden over de totale massa m.
We hebben te maken met een homogene ster en dan kan ik voor de dichtheid schrijven (hierin is V het totale
volume):
Waaruit volgt:
Door te
differentiëren ontstaat:
En dit stop ik in vergelijking (1):
Omdat we te maken hebben met een afgeplatte bol, een
sferoïde, (of heel netjes gezegd: een
oblate sferoïde) ligt het voor de hand om over te gaan naar bolcoördinaten.
Voor een stukje dV geldt dan:
Waarmee vergelijking (5) wordt:
De hoek φ is de hoek die verandert wanneer ik een (hypothetische) wandeling maak over de evenaar en
de hoek θ is de hoek die verandert wanneer ik een (wederom hypothetische) wandeling maak van de ene
pool naar de andere.
Ik kan daarom de volgende
integratiegrenzen al invullen:
Voor de loodrechte afstand tot de rotatie-as kan ik schrijven:
Waarmee vergelijking (8) wordt:
De
integratiegrenzen van
r liggen iets gecompliceerder.
Aan de evenaar heeft de ster een grotere straal dan aan de beide polen, want de ster is immers afgeplat.
De straal aan de evenaar noem ik a en de straal aan de beide polen noem ik b.
Wanneer ik een horizontaal schijfje uit de ster haal dan heeft dat de vorm van een cirkel, maar
wanneer ik een verticaal schijfje uit de ster haal dan heeft dat de vorm van een ellips.
Voor de
excentriciteit
van die ellips kan ik schrijven:
En de maximale straal is dan:
Bij de evenaar is θ = 0 en is de maximale straal:
Bij de polen is θ = +π/2 of θ = −π/2 en vind ik voor de maximale straal:
Deze maximale straal (vergelijking (12)) kan ik dus gebruiken als
bovengrens van de
integraal en de
ondergrens is
uiteraard nul:
Ik begin nu met de eerste
integraal:
Nu is de tweede
integraal aan de beurt:
En tot slot de derde
integraal,
de oplossing daarvan kun je vinden in de
tabel met integralen.
Nu zet ik vergelijking (3) weer in:
Voor het volume van deze sferoïde geldt:
In combinatie met vergelijking (19) kom ik zo tot het antwoord:
Hier knutsel ik nog wat mee verder:
Dit is niets meer of minder dan het traagheidsmoment van een bol (zie het
vorige vraagstuk), op zich niets bijzonders.
Wat op zich wel bijzonder is, of wat je in eerste instantie niet zou verwachten (ik althans niet), is dat
de afplatting geen invloed heeft op het traagheidsmoment (want vergelijking (22) bevat alleen maar de
horizontale straal a en niet de verticale straal b).
Na even nadenken is dat ook wel logisch, want het traagheidsmoment wordt bepaald door de loodrechte afstand
van ieder infinitesimale stukje massa tot de rotatie-as.
Door een bol plat te duwen verandert er natuurlijk niets aan dat specifieke aspect.