\documentclass[a4paper]{article}
\begin{document}
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \ln x \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime}
 & = & \frac{1}{x} \\
& = & x^{-1} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime\prime}
 & = & - x^{-2} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime\prime\prime}
 & = & 2 x^{-3} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime\prime\prime\prime}
 & = & -6 x^{-4} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{v})}
 & = & 24 x^{-5} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{vi})}
 & = & -120 x^{-6} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{vii})}
 & = & 720 x^{-7} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{viii})}
 & = & -5040 x^{-8} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{ix})}
 & = & 40320 x^{-9} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{x})}
 & = & -362880 x^{-10} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y (0)
 & = & \ln 0 \\
& = & - \infty \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime} (0)
 & = & 0^{-1} \\
& = & \infty \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime\prime} (0)
 & = & - 0^{-2} \\
& = & - \infty \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
x
 & = & 1 + u \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
u
 & = & x - 1 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \ln x \\
& = & \ln (1 + u) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \ln (1 + u) \\
& = & u - \frac{1}{2} u^{2} + \frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{7} u^{7} - \ldots \\
& = & \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{(-1)^{n + 1}}{n} u^{n} \\
& = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{(-u)^{n}}{n} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \ln x \\
& = & x - 1 - \frac{1}{2} (x - 1)^{2} + \frac{1}{3} (x - 1)^{3} - \frac{1}{4} (x - 1)^{4} + \frac{1}{5} (x - 1)^{5}
 - \frac{1}{6} (x - 1)^{6} + \frac{1}{7} (x - 1)^{7} - \ldots \\
& = & \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{(-1)^{n + 1}}{n} (x - 1)^{n} \\
& = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{(1 - x)^{n}}{n} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{\mbox{Term } (n + 1)}{\mbox{Term } (n)} \, \right |
 & < & 1 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{\mbox{Term } (n + 1)}{\mbox{Term } (n)} \, \right |
 & = & \lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{- \frac{(1 - x)^{n + 1}}{n + 1}}{- \frac{(1 - x)^{n}}{n}} \, \right | \\
& = & \lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{\frac{1 - x}{n + 1}}{\frac{1}{n}} \, \right | \\
& = & \lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{n (1 - x)}{n + 1} \, \right | \\
& = & \lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{1 - x}{1 + \frac{1}{n}} \, \right | \\
& \approx & \left | \, \frac{1 - x}{1 + 0} \, \right | \\
& = & | \, 1 - x \, | \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
x
 & = & 1 - u \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
u
 & = & 1 - x \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \ln x \\
& = & \ln (1 - u) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \ln (1 - u) \\
& = & (-u) - \frac{1}{2} (-u)^{2} + \frac{1}{3} (-u)^{3} - \frac{1}{4} (-u)^{4} + \frac{1}{5} (-u)^{5} - \frac{1}{6} (-u)^{6} + \frac{1}{7} (-u)^{7} - \ldots \\
& = & - u - \frac{1}{2} u^{2} - \frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{4} u^{4} - \frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{6} u^{6} - \frac{1}{7} u^{7} - \ldots \\
& = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{u^{n}}{n} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \ln x \\
& = & - 1 + x - \frac{1}{2} (1 - x)^{2} - \frac{1}{3} (1 - x)^{3} - \frac{1}{4} (1 - x)^{4} - \frac{1}{5} (1 - x)^{5}
 - \frac{1}{6} (1 - x)^{6} - \frac{1}{7} (1 - x)^{7} - \ldots \\
& = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{(1 - x)^{n}}{n} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \ln (a + x) \\
& = & \ln a - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{1}{n} \left ( - \frac{x}{a} \right )^{n} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \ln (1 + u) \\
& = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{(-u)^{n}}{n} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \ln (1 - u) \\
& = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{u^{n}}{n} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\ln (1 + u) - \ln (1 - u)
 & = & \left ( - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{(-u)^{n}}{n} \right ) - \left ( - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{u^{n}}{n} \right ) \\
\ln \frac{1 + u}{1 - u}
 & = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \left ( \frac{(-u)^{n}}{n} - \frac{u^{n}}{n} \right ) \\
& = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{(-u)^{n} - u^{n}}{n} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\ln \frac{1 + u}{1 - u}
 & = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{(-u)^{n} - u^{n}}{n} \\
& = & 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{u^{2n - 1}}{2n - 1} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
x
 & = & \frac{1 + u}{1 - u} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
x
 & = & \frac{1 + u}{1 - u} \\
x (1 - u)
 & = & 1 + u \\
x - xu
 & = & 1 + u \\
- xu - u
 & = & 1 - x \\
- u (x + 1)
 & = & 1 - x \\
u
 & = & \frac{x - 1}{x + 1} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\ln \frac{1 + u}{1 - u}
 & = & 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{u^{2n - 1}}{2n - 1} \\
\ln x
 & = & 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{1}{2n - 1} \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^{2n - 1} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{\mbox{Term } (n + 1)}{\mbox{Term } (n)} \, \right |
 & = & \lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{\frac{1}{2 (n + 1) - 1} \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^{2 (n + 1) - 1}}
{\frac{1}{2n - 1} \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^{2n - 1}} \, \right | \\
& = & \lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{\frac{1}{2n + 1} \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^{2n + 1}}
{\frac{1}{2n - 1} \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^{2n - 1}} \, \right | \\
& = & \lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{2n - 1}{2n + 1} \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^{2} \, \right | \\
& = & \lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{1 - \frac{1}{2n}}{1 + \frac{1}{2n}} \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^{2} \, \right | \\
& \approx & \left | \, \frac{1 - 0}{1 + 0} \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^{2} \, \right | \\
& = & \left | \, \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^{2} \, \right | \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & 2 \sum_{n = 1}^{n = \infty} \frac{1}{2n - 1} \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^{2n - 1} \\
\end{eqnarray*}
\end{document}
