\documentclass[a4paper]{article}
\begin{document}
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \frac{x}{(1 + x)^{2}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime}
 & = & \frac{1 \cdot (1 + x)^{2} - 2x (1 + x)}{(1 + x)^{4}} \\
& = & \frac{1 + x - 2x}{(1 + x)^{3}} \\
& = & \frac{1 - x}{(1 + x)^{3}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime\prime}
 & = & \frac{-1 \cdot (1 + x)^{3} - 3 (1 - x) (1 + x)^{2}}{(1 + x)^{6}} \\
& = & \frac{- (1 + x) - 3 (1 - x)}{(1 + x)^{4}} \\
& = & \frac{- 1 - x - 3 + 3 x}{(1 + x)^{4}} \\
& = & \frac{- 4 + 2 x}{(1 + x)^{4}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime\prime\prime}
 & = & \frac{2 \cdot (1 + x)^{4} - 4 (- 4 + 2 x) (1 + x)^{3}}{(1 + x)^{8}} \\
& = & \frac{2 + 2x + 16 - 8 x}{(1 + x)^{5}} \\
& = & \frac{18 - 6 x}{(1 + x)^{5}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime\prime\prime\prime}
 & = & \frac{- 6 \cdot (1 + x)^{5} - 5 (18 - 6 x) (1 + x)^{4}}{(1 + x)^{10}} \\
& = & \frac{- 6 - 6 x - 90 + 30 x}{(1 + x)^{6}} \\
& = & \frac{- 96 + 24 x}{(1 + x)^{6}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{v})}
 & = & \frac{24 \cdot (1 + x)^{6} - 6 (- 96 + 24 x) (1 + x)^{5}}{(1 + x)^{12}} \\
& = & \frac{24 + 24 x + 576 - 144 x}{(1 + x)^{7}} \\
& = & \frac{600 - 120 x}{(1 + x)^{7}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{vi})}
 & = & \frac{- 120 \cdot (1 + x)^{7} - 7 (600 - 120 x) (1 + x)^{6}}{(1 + x)^{14}} \\
& = & \frac{- 120 - 120 x - 4200 + 840 x}{(1 + x)^{8}} \\
& = & \frac{- 4320 + 720 x}{(1 + x)^{8}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{vii})}
 & = & \frac{720 \cdot (1 + x)^{8} - 8 (- 4320 + 720 x) (1 + x)^{7}}{(1 + x)^{16}} \\
& = & \frac{720 + 720 x + 34560 - 5760 x}{(1 + x)^{9}} \\
& = & \frac{35280 - 5040 x}{(1 + x)^{9}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{viii})}
 & = & \frac{- 5040 \cdot (1 + x)^{9} - 9 (35280 - 5040 x) (1 + x)^{8}}{(1 + x)^{18}} \\
& = & \frac{- 5040 - 5040 x - 317520 + 45360 x}{(1 + x)^{10}} \\
& = & \frac{- 322560 + 40320 x}{(1 + x)^{10}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{ix})}
 & = & \frac{40320 \cdot (1 + x)^{10} - 10 (- 322560 + 40320 x) (1 + x)^{9}}{(1 + x)^{20}} \\
& = & \frac{40320 + 40320 x + 3225600 - 403200 x}{(1 + x)^{11}} \\
& = & \frac{3265920 - 362880 x}{(1 + x)^{11}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{x})}
 & = & \frac{- 362880 \cdot (1 + x)^{11} - 11 (3265920 - 362880 x) (1 + x)^{10}}{(1 + x)^{22}} \\
& = & \frac{- 362880 - 362880 x - 35925120 + 3991680 x}{(1 + x)^{12}} \\
& = & \frac{- 36288000 + 3628800 x}{(1 + x)^{12}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y (0)
 & = & \frac{0}{(1 + 0)^{2}} \\
& = & \frac{0}{1} \\
& = & 0 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime} (0)
 & = & \frac{1 - 0}{(1 + 0)^{3}} \\
& = & \frac{1}{1} \\
& = & 1 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime\prime} (0)
 & = & \frac{- 4 + 2 \cdot 0}{(1 + 0)^{4}} \\
& = & \frac{- 4}{1} \\
& = & -4 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime\prime\prime} (0)
 & = & \frac{18 - 6 \cdot 0}{(1 + 0)^{5}} \\
& = & \frac{18}{1} \\
& = & 18 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{\prime\prime\prime\prime} (0)
 & = & \frac{- 96 + 24 \cdot 0}{(1 + 0)^{6}} \\
& = & \frac{- 96}{1} \\
& = & -96 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{v})} (0)
 & = & \frac{600 - 120 \cdot 0}{(1 + 0)^{7}} \\
& = & \frac{600}{1} \\
& = & 600 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{vi})} (0)
 & = & \frac{- 4320 + 720 \cdot 0}{(1 + 0)^{8}} \\
& = & \frac{- 4320}{1} \\
& = & -4320 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{vii})} (0)
 & = & \frac{35280 - 5040 \cdot 0}{(1 + 0)^{9}} \\
& = & \frac{35280}{1} \\
& = & 35280 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{viii})} (0)
 & = & \frac{- 322560 + 40320 \cdot 0}{(1 + 0)^{10}} \\
& = & \frac{- 322560}{1} \\
& = & -322560 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{ix})} (0)
 & = & \frac{3265920 - 362880 \cdot 0}{(1 + 0)^{11}} \\
& = & \frac{3265920}{1} \\
& = & 3265920 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y^{(\mbox{x})} (0)
 & = & \frac{- 36288000 + 3628800 \cdot 0}{(1 + 0)^{12}} \\
& = & \frac{- 36288000}{1} \\
& = & -36288000 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{0}
 & = & \frac{y (0)}{0!} \\
& = & \frac{0}{1} \\
& = & 0 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{1}
 & = & \frac{y^{\prime} (0)}{1!} \\
& = & \frac{1}{1} \\
& = & 1 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{2}
 & = & \frac{y^{\prime\prime} (0)}{2!} \\
& = & \frac{-4}{2} \\
& = & -2 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{3}
 & = & \frac{y^{\prime\prime\prime} (0)}{3!} \\
& = & \frac{18}{6} \\
& = & 3 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{4}
 & = & \frac{y^{\prime\prime\prime\prime} (0)}{4!} \\
& = & \frac{-96}{24} \\
& = & -4 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{5}
 & = & \frac{y^{(\mbox{v})} (0)}{5!} \\
& = & \frac{600}{120} \\
& = & 5 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{6}
 & = & \frac{y^{(\mbox{vi})} (0)}{6!} \\
& = & \frac{-4320}{720} \\
& = & -6 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{7}
 & = & \frac{y^{(\mbox{vii})} (0)}{7!} \\
& = & \frac{35280}{5040} \\
& = & 7 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{8}
 & = & \frac{y^{(\mbox{viii})} (0)}{8!} \\
& = & \frac{-322560}{40320} \\
& = & -8 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{9}
 & = & \frac{y^{(\mbox{ix})} (0)}{9!} \\
& = & \frac{3265920}{362880} \\
& = & 9 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{10}
 & = & \frac{y^{(\mbox{x})} (0)}{10!} \\
& = & \frac{-36288000}{3628800} \\
& = & -10 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
a_{n}
 & = & (-1)^{n + 1} n \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & \frac{x}{(1 + x)^{2}} \\
& = & x - 2 x^{2} + 3 x^{3} - 4 x^{4} + 5 x^{5} - 6 x^{6} + 7 x^{7} - \ldots \\
& = & \sum_{n = 1}^{n = \infty} (-1)^{n + 1} n x^{n} \\
& = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} n (-x)^{n} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\frac{\mbox{Term } (n + 1)}{\mbox{Term } (n)}
 & = & \frac{- (n + 1) (-x)^{n + 1}}{- n (-x)^{n}} \\
& = & \frac{(n + 1) (-x)}{n} \\
& = & - \frac{n + 1}{n} x \\
& = & - \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) x \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{\mbox{Term } (n + 1)}{\mbox{Term } (n)} \, \right |
 & < & 1 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} \left | \, \frac{\mbox{Term } (n + 1)}{\mbox{Term } (n)} \, \right |
 & = & \lim_{n \to \infty} \left | \, - \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) x \, \right | \\
& = & \lim_{n \to \infty} \left | \, \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) x \, \right | \\
& \approx & | \, (1 + 0) x \, | \\
& = & | \, x \, | \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
y
 & = & - \sum_{n = 1}^{n = \infty} n (-x)^{n} \\
& & | \, x \, | \, \, < \, \, 1 \\
\end{eqnarray*}
\end{document}
