\documentclass[a4paper]{article}
\begin{document}
\begin{eqnarray*}
\mbox{(1)} \qquad \frac{\mbox{d}^{2}u}{\mbox{d}\varphi^{2}} + u
 & = & \frac{3 R_{s}}{2} u^{2} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(2)} \qquad u
 & = & \frac{1}{r} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(3)} \qquad R_{s}
 & = & \frac{2 G M}{c^{2}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(4)} \qquad \frac{\mbox{d}^{2}u}{\mbox{d}\varphi^{2}} + u
 & = & 0 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(5)} \qquad u
 & = & \frac{1}{b} \sin \varphi \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(6a)} \qquad \varphi
 & = & \arctan \frac{y}{x} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(6b)} \qquad r
 & = & \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(7)} \qquad \sin \alpha
 & = & \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^{2} \alpha}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(8)} \qquad \qquad u
 & = & \frac{1}{b} \sin \varphi \\
\frac{1}{r}
 & = & \frac{1}{b} \frac{\tan \varphi}{\sqrt{1 + \tan^{2} \varphi}} \\
\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}
 & = & \frac{1}{b} \frac{\tan \arctan \frac{y}{x}}{\sqrt{1 + \tan^{2} \arctan \frac{y}{x}}} \\
& = & \frac{1}{b} \frac{\frac{y}{x}}{\sqrt{1 + \left ( \frac{y}{x} \right )^{2}}} \\
& = & \frac{1}{b} \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\
1
 & = & \frac{1}{b} y \\
y
 & = & b \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(9)} \qquad u
 & = & \frac{1}{b} \left ( \frac{R_{s}}{b} + \sin \varphi - \frac{R_{s}}{2 b} \sin^{2} \varphi \right ) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(10)} \qquad u
 & = & \frac{1}{b} (A + B \sin \varphi + C \sin^{2} \varphi + D \sin^{3} \varphi + E \sin^{4} \varphi + F \sin^{5} \varphi) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(11)} \qquad \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\varphi}
 & = & \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}\varphi}
 \left ( \frac{1}{b} (A + B \sin \varphi + C \sin^{2} \varphi + D \sin^{3} \varphi + E \sin^{4} \varphi + F \sin^{5} \varphi) \right ) \\
& = & \frac{1}{b} (0 + B \cos \varphi + C \cdot 2 \sin \varphi \cos \varphi + D \cdot 3 \sin^{2} \varphi \cos \varphi
 + E \cdot 4 \sin^{3} \varphi \cos \varphi + F \cdot 5 \sin^{4} \varphi \cos \varphi) \\
& = & \frac{1}{b} (B \cos \varphi + 2 C \sin \varphi \cos \varphi + 3 D \sin^{2} \varphi \cos \varphi
 + 4 E \sin^{3} \varphi \cos \varphi + 5 F \sin^{4} \varphi \cos \varphi) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(12)} \qquad \frac{\mbox{d}^{2}u}{\mbox{d}\varphi^{2}}
 & = & \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}\varphi} \left ( \frac{1}{b} (B \cos \varphi + 2 C \sin \varphi \cos \varphi + 3 D \sin^{2} \varphi \cos \varphi
 + 4 E \sin^{3} \varphi \cos \varphi + 5 F \sin^{4} \varphi \cos \varphi) \right ) \\
& = & \frac{1}{b} (- B \sin \varphi
 + 2 C \cos \varphi \cos \varphi
 + 2 C \sin \varphi (- \sin \varphi)
 + 3 D \cdot 2 \sin \varphi \cos \varphi \cos \varphi \\
 & & \qquad + \, 3 D \sin^{2} \varphi (- \sin \varphi)
 + 4 E \cdot 3 \sin^{2} \varphi \cos \varphi \cos \varphi
 + 4 E \sin^{3} \varphi (- \sin \varphi) \\
 & & \qquad \qquad + \, 5 F \cdot 4 \sin^{3} \varphi \cos \varphi \cos \varphi
 + 5 F \sin^{4} \varphi (- \sin \varphi)) \\
& = & \frac{1}{b} (- B \sin \varphi
 + 2 C \cos^{2} \varphi
 - 2 C \sin^{2} \varphi
 + 6 D \sin \varphi \cos^{2} \varphi
 - 3 D \sin^{3} \varphi
 + 12 E \sin^{2} \varphi \cos^{2} \varphi \\
 & & \qquad - \, 4 E \sin^{4} \varphi
 + 20 F \sin^{3} \varphi \cos^{2} \varphi
 - 5 F \sin^{5} \varphi) \\
& = & \frac{1}{b} (- B \sin \varphi
 + 2 C (1 - \sin^{2} \varphi)
 - 2 C \sin^{2} \varphi
 + 6 D \sin \varphi (1 - \sin^{2} \varphi)
 - 3 D \sin^{3} \varphi \\
 & & \qquad + \, 12 E \sin^{2} \varphi (1 - \sin^{2} \varphi)
 - 4 E \sin^{4} \varphi
 + 20 F \sin^{3} \varphi (1 - \sin^{2} \varphi)
 - 5 F \sin^{5} \varphi) \\
& = & \frac{1}{b} (- B \sin \varphi
 + 2 C - 2 C \sin^{2} \varphi
 - 2 C \sin^{2} \varphi
 + 6 D \sin \varphi - 6 D \sin^{3} \varphi
 - 3 D \sin^{3} \varphi \\
 & & \qquad + \, 12 E \sin^{2} \varphi - 12 E \sin^{4} \varphi
 - 4 E \sin^{4} \varphi
 + 20 F \sin^{3} \varphi - 20 F \sin^{5} \varphi
 - 5 F \sin^{5} \varphi) \\
& = & \frac{1}{b} (2 C + (6 D - B) \sin \varphi + (12 E - 4 C) \sin^{2} \varphi + (20 F - 9 D) \sin^{3} \varphi - 16 E \sin^{4} \varphi \\
 & & \qquad - \, 25 F \sin^{5} \varphi) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(13)} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{\mbox{d}^{2}u}{\mbox{d}\varphi^{2}} + u
 & = & \frac{3 R_{s}}{2} u^{2} \\
\frac{1}{b} (2 C + (6 D - B) \sin \varphi + (12 E - 4 C) \sin^{2} \varphi \qquad \qquad \qquad
 & & \\
 + \, (20 F - 9 D) \sin^{3} \varphi - 16 E \sin^{4} \varphi - 25 F \sin^{5} \varphi) \qquad
 & & \\
 + \, \frac{1}{b} (A + B \sin \varphi + C \sin^{2} \varphi \qquad \qquad \qquad
 & & \\
 + \, D \sin^{3} \varphi + E \sin^{4} \varphi + F \sin^{5} \varphi)
 & = & \frac{3 R_{s}}{2} \left ( \frac{1}{b} \left ( \frac{R_{s}}{b} + \sin \varphi - \frac{R_{s}}{2 b} \sin^{2} \varphi) \right ) \right )^{2} \\
\frac{1}{b} ((A + 2 C) + 6 D \sin \varphi + (12 E - 3 C) \sin^{2} \varphi \qquad \qquad
 & & \\
 + \, (20 F - 8 D) \sin^{3} \varphi - 15 E \sin^{4} \varphi - 24 F \sin^{5} \varphi)
 & = & \frac{3 R_{s}}{2 b^{4}} \Biggl ( R_{s}^{2} + 2 R_{s} b \sin \varphi + (b^{2} - R_{s}^{2}) \sin^{2} \varphi \\
 & & \qquad \qquad \qquad - \, R_{s} b \sin^{3} \varphi + \frac{R_{s}^{2}}{4} \sin^{4} \varphi \Biggr ) \\
(A + 2 C) + 6 D \sin \varphi + (12 E - 3 C) \sin^{2} \varphi \qquad \qquad
 & & \\
 + \, (20 F - 8 D) \sin^{3} \varphi - 15 E \sin^{4} \varphi
 & \approx & \frac{3 R_{s}}{2 b^{3}} \Biggl ( R_{s}^{2} + 2 R_{s} b \sin \varphi + (b^{2} - R_{s}^{2}) \sin^{2} \varphi \\
 & & \qquad \qquad \qquad - \, R_{s} b \sin^{3} \varphi + \frac{R_{s}^{2}}{4} \sin^{4} \varphi \Biggr ) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(14a)} \qquad - 15 E
 & = & \frac{3 R_{s}}{2 b^{3}} \frac{R_{s}^{2}}{4} \\
E
 & = & - \frac{R_{s}^{3}}{40 b^{3}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(14b)} \qquad 6 D
 & = & \frac{3 R_{s}}{2 b^{3}} 2 R_{s} b \\
D
 & = & \frac{R_{s}^{2}}{2 b^{2}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(14c)} \qquad 12 E - 3 C
 & = & \frac{3 R_{s}}{2 b^{3}} (b^{2} - R_{s}^{2}) \\
12 \left ( - \frac{R_{s}^{3}}{40 b^{3}} \right ) - 3 C
 & = & \frac{3 R_{s}}{2 b} - \frac{3 R_{s}^{3}}{2 b^{3}} \\
- \frac{3 R_{s}^{3}}{10 b^{3}} - 3 C
 & = & \frac{3 R_{s}}{2 b} - \frac{3 R_{s}^{3}}{2 b^{3}} \\
- 3 C
 & = & \frac{3 R_{s}}{2 b} - \frac{6 R_{s}^{3}}{5 b^{3}} \\
C
 & = & \frac{2 R_{s}^{3}}{5 b^{3}} - \frac{R_{s}}{2 b} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(14d)} \qquad \qquad A + 2 C
 & = & \frac{3 R_{s}}{2 b^{3}} R_{s}^{2} \\
A + 2 \left ( \frac{2 R_{s}^{3}}{5 b^{3}} - \frac{R_{s}}{2 b} \right )
 & = & \frac{3 R_{s}^{3}}{2 b^{3}} \\
A + \frac{4 R_{s}^{3}}{5 b^{3}} - \frac{R_{s}}{b}
 & = & \frac{3 R_{s}^{3}}{2 b^{3}} \\
A
 & = & \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{3}} + \frac{R_{s}}{b} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(15)} \qquad u
 & = & \frac{1}{b} (\sin \varphi + A + B \sin \varphi + C \sin^{2} \varphi + D \sin^{3} \varphi + E \sin^{4} \varphi) \\
& = & \frac{1}{b} \left ( \sin \varphi + \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{3}} + \frac{R_{s}}{b} + 0 \cdot \sin \varphi
 + \left ( \frac{2 R_{s}^{3}}{5 b^{3}} - \frac{R_{s}}{2 b} \right ) \sin^{2} \varphi
 + \frac{R_{s}^{2}}{2 b^{2}} \sin^{3} \varphi - \frac{R_{s}^{3}}{40 b^{3}} \sin^{4} \varphi \right ) \\
& = & \frac{1}{b} \left ( \frac{R_{s}}{b} + \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{3}} + \sin \varphi
 + \left ( \frac{2 R_{s}^{3}}{5 b^{3}} - \frac{R_{s}}{2 b} \right ) \sin^{2} \varphi
 + \frac{R_{s}^{2}}{2 b^{2}} \sin^{3} \varphi - \frac{R_{s}^{3}}{40 b^{3}} \sin^{4} \varphi \right ) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(16)} \qquad u
 & = & \frac{1}{b} \left ( \frac{R_{s}}{b} + \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{3}} + \sin \varphi
 + \left ( \frac{2 R_{s}^{3}}{5 b^{3}} - \frac{R_{s}}{2 b} \right ) \sin^{2} \varphi
 + \frac{R_{s}^{2}}{2 b^{2}} \sin^{3} \varphi - \frac{R_{s}^{3}}{40 b^{3}} \sin^{4} \varphi \right ) \\
& \approx & \frac{1}{b} \left ( \frac{R_{s}}{b} + \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{3}} + \sin \varphi - \frac{R_{s}}{2 b} \sin^{2} \varphi \right ) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(17)} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad u
 & = & \frac{1}{b} \left ( \frac{R_{s}}{b} + \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{3}} + \sin \varphi - \frac{R_{s}}{2 b} \sin^{2} \varphi \right ) \\
b u
 & = & \frac{R_{s}}{b} + \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{3}} + \sin \varphi - \frac{R_{s}}{2 b} \sin^{2} \varphi \\
\frac{R_{s}}{2 b} \sin^{2} \varphi - \sin \varphi + b u - \frac{R_{s}}{b} - \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{3}}
 & = & 0 \\
5 R_{s} b^{2} \sin^{2} \varphi - 10 b^{3} \sin \varphi + 10 b^{4} u - 10 R_{s} b^{2} - 7 R_{s}^{3}
 & = & 0 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(18)} \qquad \sin \varphi
 & = & \frac{- (- 10 b^{3}) \pm \sqrt{(- 10 b^{3})^{2} - 4 \cdot 5 R_{s} b^{2} (10 b^{4} u - 10 R_{s} b^{2} - 7 R_{s}^{3})}}{2 \cdot 5 R_{s} b^{2}} \\
& = & \frac{10 b^{3} \pm \sqrt{100 b^{6} - 20 R_{s} b^{2} (10 b^{4} u - 10 R_{s} b^{2} - 7 R_{s}^{3})}}{10 R_{s} b^{2}} \\
& = & \frac{b}{R_{s}} \pm \frac{b}{R_{s}} \sqrt{1 - 2 R_{s} \left ( u - \frac{R_{s}}{b^{2}} - \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{4}} \right )} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(19)} \qquad \sin \varphi
 & = & \frac{b}{R_{s}} \pm \frac{b}{R_{s}} \sqrt{1 - 2 R_{s} \left ( u - \frac{R_{s}}{b^{2}} - \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{4}} \right )} \\
& = & \frac{b}{R_{s}} - \frac{b}{R_{s}} \sqrt{1 - 2 R_{s} \left ( u - \frac{R_{s}}{b^{2}} - \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{4}} \right )} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(20)} \qquad \sqrt{1 - x}
 & = & - \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(2n)!}{(2 n - 1) 2^{2n} (n!)^{2}} x^{n} \\
& = & 1 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} - \frac{1}{16} x^{3} - \frac{5}{128} x^{4} - \frac{7}{256} x^{5} - \ldots \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(21)} \qquad \sin \varphi
 & = & \frac{b}{R_{s}} - \frac{b}{R_{s}} \sqrt{1 - 2 R_{s} \left ( u - \frac{R_{s}}{b^{2}} - \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{4}} \right )} \\
& \approx & \frac{b}{R_{s}} - \frac{b}{R_{s}}
 \left ( 1 - \frac{1}{2} \cdot 2 R_{s} \left ( u - \frac{R_{s}}{b^{2}} - \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{4}} \right )
 - \frac{1}{8} \left ( 2 R_{s} \left ( u - \frac{R_{s}}{b^{2}} - \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{4}} \right ) \right )^{2} \right ) \\
& = & \frac{b}{R_{s}} - \frac{b}{R_{s}}
 + b \left ( u - \frac{R_{s}}{b^{2}} - \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{4}} \right )
 + \frac{R_{s} b}{2} \left ( u^{2} - \frac{2 R_{s} u}{b^{2}} - \frac{14 R_{s}^{3} u}{10 b^{4}} + \frac{R_{s}^{2}}{b^{4}}
 + \frac{14 R_{s}^{4}}{10 b^{6}} + \frac{49 R_{s}^{6}}{100 b^{8}} \right ) \\
& = & b u - \frac{R_{s}}{b} - \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{3}}
 + \frac{R_{s} b u^{2}}{2} - \frac{R_{s}^{2} u}{b} - \frac{7 R_{s}^{4} u}{10 b^{3}} + \frac{R_{s}^{3}}{2 b^{3}}
 + \frac{7 R_{s}^{5}}{10 b^{5}} + \frac{49 R_{s}^{7}}{200 b^{7}} \\
& \approx & b u - \frac{R_{s}}{b} - \frac{7 R_{s}^{3}}{10 b^{3}}
 + \frac{R_{s} b u^{2}}{2} - \frac{R_{s}^{2} u}{b} - \frac{7 R_{s}^{4} u}{10 b^{3}} + \frac{R_{s}^{3}}{2 b^{3}} \\
& = & b u - \frac{R_{s}}{b} - \frac{R_{s}^{2} u}{b} - \frac{7 R_{s}^{4} u}{10 b^{3}} + \frac{R_{s} b u^{2}}{2} - \frac{R_{s}^{3}}{5 b^{3}} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(22)} \qquad \lim_{r \to \infty} \sin \varphi
 & = & \lim_{r \to \infty}
 b u - \frac{R_{s}}{b} - \frac{R_{s}^{2} u}{b} - \frac{7 R_{s}^{4} u}{10 b^{3}} + \frac{R_{s} b u^{2}}{2} - \frac{R_{s}^{3}}{5 b^{3}} \\
\sin \varphi
 & = & \lim_{u \to 0} b u - \frac{R_{s}}{b} - \frac{R_{s}^{2} u}{b} - \frac{7 R_{s}^{4} u}{10 b^{3}} + \frac{R_{s} b u^{2}}{2} - \frac{R_{s}^{3}}{5 b^{3}} \\
& \approx & 0 - \frac{R_{s}}{b} - 0 - 0 + 0 - \frac{R_{s}^{3}}{5 b^{3}} \\
& = & - \frac{R_{s}}{b} - \frac{R_{s}^{3}}{5 b^{3}} \\
& = & - \frac{R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(23)} \qquad \sin x
 & = & \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!} x^{2n + 1} \\
& = & x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \ldots \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(24)} \qquad \qquad \qquad \qquad \sin \varphi
 & = & - \frac{R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
\varphi - \frac{1}{6} \varphi^{3}
 & \approx & - \frac{R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
\varphi^{3} - 6 \varphi - \frac{6 R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right )
 & = & 0 \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(25)} \qquad \varphi_{i}
 & = & I - 2 \sqrt{- p^{\prime\prime}} \,
 \sin \left ( \frac{1}{3} \arcsin \frac{q^{\prime\prime}}{\sqrt{- p^{\prime\prime3}}} + \frac{1}{3} (2i - 1) \pi \right ) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(26)} \qquad \qquad \qquad \sin \varphi
 & = & - \frac{R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
\frac{\tan \varphi}{\sqrt{1 + \tan^{2} \varphi}}
 & = & - \frac{R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
\frac{\tan \arctan \frac{y}{x}}{\sqrt{1 + \tan^{2} \arctan \frac{y}{x}}}
 & = & - \frac{R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
\frac{\frac{y}{x}}{\sqrt{1 + \left ( \frac{y}{x} \right )^{2}}}
 & = & - \frac{R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}
 & = & - \frac{R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
\frac{y}{r}
 & = & - \frac{R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
y
 & = & - \frac{R_{s} r}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(27)} \qquad y
 & = & - \frac{R_{s} r}{b} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\mbox{(28)} \qquad \Delta \varphi
 & = & \frac{2 R_{s}}{b} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
& = & \frac{4 G M}{b c^{2}} \left ( 1 + \frac{R_{s}^{2}}{5 b^{2}} \right ) \\
\end{eqnarray*}
\end{document}
