Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De Taylor-reeks van<br>f (x) = tan (ax)

De Taylor-reeks van
f (x) = tan (ax)

De grafiek van f (x) = tan (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De tangens is het quotiënt van sinus en cosinus:

De reeks van sin (ax) kun je elders vinden in de tabel met Taylor-reeksen en de reeks van cos (ax) kun je ook elders vinden in de tabel met Taylor-reeksen:

Op deze manier zijn we heel snel klaar:

En omdat zowel de reeks van de sinus als de reeks van de cosinus altijd convergeert is convergentie op deze manier gegarandeerd.

Het nadeel van de bovenstaande oplossing is dat het een quotiënt is van twee reeksen en doorgaans willen we één enkele reeks hebben. Dat brengt mij terug bij de klassieke aanpak en daarom ga ik om te beginnen eerst tien afgeleiden bepalen:

Vervolgens ga ik bij de functie en zijn afgeleiden de y-waarde bepalen voor x = 0:

De polynoom-coëfficiënten worden dan:

De regelmaat hierin is (na een hoop gepuzzel):

Bernoulli

De B’s in bovenstaande vergelijking zijn de Bernoulli-getallen. In onderstaande tabel staan de eerste elf Bernoulli-getallen (er zijn er oneindig veel).

n	B_n (als breuk)	B_n (decimaal)
0	1	1.00000
1	−1/2	−0.50000
2	1/6	0.16667
3	0	0.00000
4	−1/30	−0.03333
5	0	0.00000
6	1/42	0.02381
7	0	0.00000
8	−1/30	−0.03333
9	0	0.00000
10	5/66	0.07576
Bernoulli-getallen (voor meer Bernoulli-getallen zie deze pagina)

Hetgeen ons brengt bij deze reeks:

Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert dan hebben we er niets aan. De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard):

Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit:

De Bernoulli-getallen bereken je als volgt:

In de limiet dat n naar oneindig gaat geldt:

De grafiek van f (n) = | B_2n+2/B_2n | (de rode lijn)
en f (n) = (n/π)² (de blauwe lijn)

Of anders geschreven:

De grafiek van f (n) = 1/n | B_2n+2/B_2n |^1/2 (de rode lijn)
en f (n) = 1/π (de blauwe lijn)

Ik zal even verticaal inzoomen.

De grafiek van f (n) = 1/n | B_2n+2/B_2n |^1/2 (de rode lijn)
en f (n) = 1/π (de blauwe lijn)

Waaruit voor de convergentie volgt:

Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel | x | < π/(2a).

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor a = 1 (de oranje lijn),
a = 2 (de paarse lijn) en a = 3 (de grijze lijn),
5 termen meegenomen

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor a = 1 (de oranje lijn),
a = 2 (de paarse lijn) en a = 3 (de grijze lijn),
10 termen meegenomen

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor a = 1 (de oranje lijn),
a = 2 (de paarse lijn) en a = 3 (de grijze lijn),
20 termen meegenomen

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor a = 1 (de oranje lijn),
a = 2 (de paarse lijn) en a = 3 (de grijze lijn),
50 termen meegenomen

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor a = 1 (de oranje lijn),
a = 2 (de paarse lijn) en a = 3 (de grijze lijn),
100 termen meegenomen

Ik zoom nog even in op de rand van het convergentiegebied:

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor a = 1 (de oranje lijn),
a = 2 (de paarse lijn) en a = 3 (de grijze lijn),
100 termen meegenomen

De Taylor-reeks vanf (x) = tan (ax)

De Taylor-reeks van
f (x) = tan (ax)