Stel ik heb deze kubus: Dit is een infinitesimaal klein kubusje waar iets doorheen stroomt. Dat ‘iets’ kan water zijn of lucht of een of ander veld of energie of wat dan ook. Datgene dat door de kubus stroomt noem ik flux en dat geef ik aan met de letter Φ. En deze flux zal niet altijd en overal gelijk zijn, dat zou wel heel bijzonder zijn, en Φ is daarom een functie van x, y, z en t. Bovendien is de flux een vectorgrootheid want hij heeft grootte én richting. Dit samengevat: Als we dan bijvoorbeeld de rechterwand van de kubus beschouwen dan is de flux door die rechterwand gelijk aan (waarbij ik de (x, y, z, t)-aanduiding vanaf nu weglaat): Hierin is ξ de hoek tussen de flux en het oppervlak want alleen de component van de flux die loodrecht door het oppervlak stroomt, stroomt er echt doorheen. De component van de flux die gevormd wordt door cos ξ stroomt in het oppervlak en dus niet door het oppervlak de kubus in of uit. De grootte van de rechterwand is dy dz en die speelt ook mee, want hoe groter de rechterwand hoe meer flux er doorheen zal stromen. Verder neem ik aan dat ik de flux, die een functie is van x, y, z en t, constant mag beschouwen over dit infinitesimaal kleine rechterwandoppervlak. Ik kan dy en dz natuurlijk ook als vectoren beschouwen want ze hebben grootte en richting. Door het uitwendig product te nemen van dy en dz ontstaat een nieuwe vector die een grootte heeft gelijk aan het oppervlakje dat door dy en dz opgespannen wordt: Voor de flux door de rechterwand kan ik dan ook schrijven: De vector dA staat loodrecht op het oppervlak, het is een normaalvector, en het gaat nu dus om de complementaire hoek van ξ die ik φ heb genoemd. Maar nu staat er een inwendig product! Ik kan daarom ook schrijven: Indien het kubusje niet infinitesimaal klein is dan zal ik moeten integreren: De netto flux door de kubus is dan de som van de fluxen door alle wanden: Hierbij moet ik wel goed opletten dat de vector dA steeds naar buiten wijst want anders ben ik niet aan het optellen. Dit resultaat kunnen we ook korter opschrijven: De cirkel door de integraaltekens betekent dat je integreert over het totale oppervlak van het betreffende object, in dit geval de kubus.

We kunnen dit probleem ook anders benaderen. Om te beginnen kijken we alleen in de x-richting. Door de linkerwand komt flux binnen: En die flux gaat er door de rechterwand weer uit vermeerderd of verminderd met een beetje dΦ (deze dΦ komt erbij vanuit de y-richting of z-richting of is juist afgebogen naar de y-richting of z-richting): Daarmee wordt de netto flux in de x-richting: Voor de y-richting en de z-richting krijg ik soortgelijke resultaten: De totale flux door de kubus is dan: Ik roep even in herinnering: Daarmee kan ik de vorige vergelijking ook schrijven als: Door te integreren over het totale volume van de kubus vind ik de netto flux door de kubus: Ik heb nu op twee manieren de flux door de kubus bepaald en die kan ik dus aan elkaar gelijk stellen: Ik ben deze afleiding begonnen met een infinitesimaal klein kubusje maar toen ik ging integreren maakte het eigenlijk helemaal niet meer uit wat de vorm was van het object. Daarom kan ik de kubus-aanduiding net zo goed weglaten: Deze vergelijking is nu wereldberoemd als de stelling van Gauss. Dit is echter niet het hele verhaal, want stel dat ik bovenaan deze pagina niet begonnen was met een kubus maar met een rechthoek: Dit is een infinitesimaal klein rechthoekje waar iets doorheen stroomt, en dat klinkt wat abstracter want we kunnen ons gemakkelijker iets voorstellen dat door een kubus stroomt dan door een platte rechthoek. Toch kan ik hetzelfde verhaal weer afdraaien en vanaf nu praat ik over flux door (de randen van) de rechthoek en dat geef ik weer aan met de letter Φ: Als we dan bijvoorbeeld de rechterrand van de rechthoek beschouwen dan is de flux door die rechterrand gelijk aan: Hierin is ξ de hoek tussen de flux en de rand want alleen de component van de flux die loodrecht door de rand stroomt, stroomt er echt doorheen. De component van de flux die gevormd wordt door cos ξ stroomt in de rand en dus niet door de rand de rechthoek in of uit. De grootte van de rechterrand is dy en die speelt ook mee, want hoe groter de rechterrand hoe meer flux er doorheen zal stromen. Verder neem ik aan dat ik de flux, die een functie is van x, y en t, constant mag beschouwen over dit infinitesimaal kleine rechterrandje. Ik kan dy natuurlijk ook als vector beschouwen want dy heeft een grootte en een richting, maar om redenen die weldra duidelijk zullen worden kies ik de vector dy loodrecht op de rand dy. Voor de flux door de rechterrand kan ik dan ook schrijven: De vector dy staat loodrecht op de rand, het is een normaalvector, en het gaat nu dus om de complementaire hoek van ξ die ik φ heb genoemd. Maar nu staat er weer een inwendig product. Ik kan dus ook schrijven: Indien het rechthoekje niet infinitesimaal klein is dan zal ik moeten integreren: De netto flux door de rechthoek is dan de som van de fluxen door alle randen: Hierbij moet ik wel goed opletten dat de vector dx respectievelijk dy steeds naar buiten wijst want anders ben ik niet aan het optellen. Dit resultaat kunnen we ook korter opschrijven (waarbij ik ieder stukje rand van de rechthoek dl noem): De cirkel door de integraaltekens betekent dat je integreert langs de totale rand van het betreffende object, in dit geval de rechthoek.

We kunnen dit probleem ook anders benaderen. Om te beginnen kijken we alleen in de x-richting. Door de linkerrand komt flux binnen: En die flux gaat er door de rechterrand weer uit vermeerderd of verminderd met een beetje dΦ (deze dΦ komt erbij vanuit de y-richting of is juist afgebogen naar de y-richting): Daarmee wordt de netto flux in de x-richting: Voor de y-richting krijg ik een soortgelijk resultaat: De totale flux door de rechthoek is dan: Ik roep even in herinnering: Daarmee kan ik de vorige vergelijking ook schrijven als: Door te integreren over het totale oppervlak van de rechthoek vind ik de netto flux door de rechthoek: Ik heb nu op twee manieren de flux door de rechthoek bepaald en die kan ik dus aan elkaar gelijk stellen: Ik ben deze afleiding begonnen met een infinitesimaal klein rechthoekje maar toen ik ging integreren maakte het eigenlijk helemaal niet meer uit wat de vorm was van het object. Daarom kan ik de rechthoek-aanduiding net zo goed weglaten: Ter vergelijking zet ik hier de stelling van Gauss onder: Het is denk ik eenvoudig in te zien dat vergelijking (35) een speciaal geval is van de stelling van Gauss, namelijk het speciale geval dat de z-dimensie ontbreekt (z = 0). Er is denk ook niet zo veel fantasie voor nodig om in te zien dat indien ik deze pagina begonnen was met een hyperkubus (een vierdimensionale kubus) dat ik dan op dit uitgekomen was: Ik heb een index 4 meegegeven, omdat per definitie slechts drie dimensies kent (x, y en z). Het is interessant om de bovenstaande drie vergelijkingen op een zelfde manier op te schrijven, en daarom noem ik een lijn een ééndimensionaal volume V₁, een oppervlak een tweedimensionaal volume V₂, een ‘normaal’ volume V₃ en een hypervolume V₄. Verder noem ik x = x₁, y = x₂, z = x₃, enzovoort. Een normaalvector geef ik aan met n en die staat altijd loodrecht op het betreffende volume én is naar buiten gericht. Dit wordt dan vergelijking (35): Zo komt de stelling van Gauss eruit te zien, vergelijking (19): En zo vergelijking (36): Wanneer N het aantal dimensies is dan kan ik de bovenstaande drie vergelijkingen als één vergelijking schrijven als volgt, welkom bij de divergentiestelling: De stelling van Gauss is dus op zijn beurt een speciaal geval van de divergentiestelling voor N = 3.

Ik wil hier direct bij opmerken dat ik vergelijking (35) ook regelmatig geduid zie worden als de divergentiestelling, en zelfs als de stelling van Gauss. Ook de stelling van Green komt regelmatig voorbij als roepnaam, terwijl dat volgens mij toch echt iets anders is.