Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

De gammafunctie

Definitie van de gammafunctie
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
Het bijzondere geval z = 1.5
Numerieke bepaling van de gammafunctie
Minima en maxima
Negatieve argumenten
Complexe argumenten
Vergelijking met de formule van Stirling
Eigenschappen van de gammafunctie

Definitie van de gammafunctie

Definitie van de gammafunctie
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
Het bijzondere geval z = 1.5
Numerieke bepaling van de gammafunctie
Minima en maxima
Negatieve argumenten
Complexe argumenten
Vergelijking met de formule van Stirling
Eigenschappen van de gammafunctie

Om te beginnen gooi ik de volgende integraal erin:

Ik ga deze integraal eens uitrekenen voor verschillende waarden van x, ik begin met x = 0:

Nu ga ik de integraal uitrekenen voor x = 1, x = 2, x = 3 en x = 4 waarbij ik gebruik maak van partieel integreren:

De regelmaat moge duidelijk zijn:

Hierin is x! de faculteitsfunctie:

Ik stel:

Hiermee wordt vergelijking (1):

Om allerlei goede en slechte redenen heeft vergelijking (6) tot de definitie van de gammafunctie geleid (en niet vergelijking (3)):

Je zult dus altijd even moeten nadenken in verband met dat eentje, want voor de functie G (x) geldt:

Terwijl voor de gammafunctie geldt:

De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie

Definitie van de gammafunctie
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
Het bijzondere geval z = 1.5
Numerieke bepaling van de gammafunctie
Minima en maxima
Negatieve argumenten
Complexe argumenten
Vergelijking met de formule van Stirling
Eigenschappen van de gammafunctie

Uit de definitie van de gammafunctie volgt direct:

Oftewel:

De gammafunctie is dus een mooie vervanger voor de faculteitsfunctie:

Ik zet er de faculteitsfunctie even onder:

De faculteitsfunctie volgens vergelijking (11) is lastig, het is een buitenbeentje, omdat die zich niet zomaar laat differentiëren of integreren zoals bijvoorbeeld een sinus of een logaritme. De faculteitsfunctie bestaat alleen voor positieve gehele getallen terwijl de gammafunctie ook alle tussenliggende gaten opvult (voor alle argumenten die geen geheel positief getal zijn). Dat gezegd hebbende wil ik direct opmerken dat we voor het uitrekenen van de gammafunctie, voor een argument dat geen positief geheel getal is, terug moeten vallen op numerieke methoden (bijvoorbeeld de trapeziummethode). Dus, stel dat ik de gammafunctie wil uitrekenen voor z = 6.378 (ik noem maar wat), dan geldt (zie vergelijking (8)):

Ik kan dus altijd op een simpele manier het probleem reduceren tot de berekening van de gammafunctie met een argument in het interval [1, 2]. Wanneer ik een tabel aanleg met ‘alle’ getallen van één tot en met twee (met een gewenste nauwkeurigheid) en de bijbehorende waarden van de gammafunctie (met een gewenste nauwkeurigheid) dan kan ik met behulp van die tabel (zie deze pagina) in een handomdraai de gammafunctie uitrekenen voor andere argumenten (waarbij het niet letterlijk altijd in een handomdraai gaat, want indien z = 1000000000.378 (dus heel groot) dan heeft ook een computer wel even tijd nodig). Laat ik eens een grafiek maken van de gammafunctie voor dit belangrijke interval [1, 2].

De grafiek van Γ (z)

De waarde van Γ (1.378) = 0.88868490439649763942, dus Γ (6.378) = 260.625717668398368 × 0.88868490439649763942 = 231.61414098940918932750. En dit ligt ergens tussen 5! (= 120) en 6! (= 720) in zoals het zou moeten. Volgens de methode van vergelijking (12) kan ik bovenstaande grafiek heel eenvoudig naar rechts uitbreiden.

De grafiek van Γ (z)

Het bijzondere geval z = 1.5

Definitie van de gammafunctie
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
Het bijzondere geval z = 1.5
Numerieke bepaling van de gammafunctie
Minima en maxima
Negatieve argumenten
Complexe argumenten
Vergelijking met de formule van Stirling
Eigenschappen van de gammafunctie

Een bijzonder geval is Γ (1.5):

Ik stel:

Hiermee wordt vergelijking (13):

Deze integraal is bekend, die zoek ik op in de tabel met integralen:

Numerieke bepaling van de gammafunctie

Definitie van de gammafunctie
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
Het bijzondere geval z = 1.5
Numerieke bepaling van de gammafunctie
Minima en maxima
Negatieve argumenten
Complexe argumenten
Vergelijking met de formule van Stirling
Eigenschappen van de gammafunctie

Taylor

z = 1.5 is de enige waarde tussen z = 1 en z = 2 waarvoor de gammafunctie exact te bepalen is, voor alle andere waarden van z moet ik toch echt terugvallen op numerieke methoden. Ik noemde al de trapeziummethode, maar beter is het om de integraal van de gammafunctie aan te pakken door de e-macht om te zetten in een Taylor-reeks. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Hiermee wordt de gammafunctie:

In eerste instantie lijkt dit wellicht een hopeloze zaak, want ik heb oneindig veel termen waarin ik tot overmaat van ramp ook nog voor t oneindig in moet vullen. Echter, zo hopeloos is de situatie niet want de reeks convergeert en het aantal termen die ik mee moet nemen is afhankelijk van de nauwkeurigheid die ik wens. Het convergeren van de reeks begint wanneer de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard):

Dit moet kleiner dan één zijn, dus het aantal termen (= n) moet de waarde van t zeker overstijgen. Verder weet ik dat z maximaal gelijk aan twee is (voor alle hogere waarden van z kan ik de gammafunctie immers uitrekenen volgens vergelijking (12)):

Minima en maxima

Definitie van de gammafunctie
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
Het bijzondere geval z = 1.5
Numerieke bepaling van de gammafunctie
Minima en maxima
Negatieve argumenten
Complexe argumenten
Vergelijking met de formule van Stirling
Eigenschappen van de gammafunctie

De integrand van de gammafunctie is:

De grafiek van f (t) = t^{z − 1} e^−t voor z = 1.0 (de rode lijn),
z = 1.1 (de lichtgroene lijn), z = 1.2 (de oranje lijn),
z = 1.3 (de paarse lijn), z = 1.4 (de blauwe lijn),
z = 1.5 (de grijze lijn), z = 1.6 (de bruine lijn),
z = 1.7 (de lichtbruine lijn), z = 1.8 (de donkergroene lijn),
z = 1.9 (de gele lijn) en z = 2.0 (de lichtblauwe lijn)

De afgeleide hiervan is:

Deze afgeleide stel ik gelijk aan nul om het maximum te bepalen:

De tweede en de derde oplossing zijn minima, maar de eerste oplossing is die waar ik naar op zoek ben. De functiewaarde van de integrand ter plaatse van het maximum is:

Dus de integrand voor z = 2 is maximaal e⁻¹ = 1/e = 0.367879. Wanneer ik t dan laat lopen van nul tot 250 (e⁻²³⁰ ≈ 10⁻¹⁰⁰, dus met t = 250 zit ik ruimschoots onder de 10⁻¹⁰⁰) en ik ga vervolgens met n daar ruim boven zitten (bijvoorbeeld n = 1000) dan zit ik gebeiteld.

Met het resultaat van vergelijking (18) kan ik nog meer zinvolle dingen doen, ik kan bijvoorbeeld de afgeleide bepalen:

Want zoals onderstaande grafiek aangeeft heeft de gammafunctie een (lokaal) minimum in de buurt van z = 1.46.

De grafiek van Γ (z)

Door mijn computer weer aan het werk te zetten vind ik dat het minimum ligt bij z = 1.46163214496836234126265954232572132846819620400645 en de functiewaarde daar is 0.8856031944108887002788159005825887332079515336699034488712001658751362274173963466647982802142035948.

Negatieve argumenten

Definitie van de gammafunctie
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
Het bijzondere geval z = 1.5
Numerieke bepaling van de gammafunctie
Minima en maxima
Negatieve argumenten
Complexe argumenten
Vergelijking met de formule van Stirling
Eigenschappen van de gammafunctie

Een logische vraag is waarom we de gammafunctie doorgaans aangeven met een z als argument en niet met een x. Dat komt omdat, in tegenstelling tot de officiële faculteitsfunctie, het argument niet beperkt is tot de positieve gehele getallen. Ieder positief reëel getal kan als argument dienen, maar ook ieder negatief getal. Dus, stel dat ik de gammafunctie wil uitrekenen voor z = −6.378 (ik noem maar wat), dan geldt (zie vergelijking (8)):

Dit alles samengevoegd geeft:

De waarde van Γ (1.622) = 0.89618159003596643527, dus Γ (−6.378) = 0.89618159003596643527 / (−390.826467828891055105208064) = −0.0022930422164456028334. Op deze manier kan ik de grafiek van de gammafunctie ook heel eenvoudig naar links uitbreiden.

De grafiek van Γ (z)

Of met een wat andere verticale schaalverdeling.

De grafiek van Γ (z)

Zoals bovenstaande grafiek laat zien is voor gehele negatieve getallen de uitkomst altijd oneindig:

Hoe je het ook wendt of keert, voor ieder geheel negatief getal krijg je gedeeld door nul en dat levert oneindig op.

Complexe argumenten

Definitie van de gammafunctie
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
Het bijzondere geval z = 1.5
Numerieke bepaling van de gammafunctie
Minima en maxima
Negatieve argumenten
Complexe argumenten
Vergelijking met de formule van Stirling
Eigenschappen van de gammafunctie

De gammafunctie kan niet alleen met negatieve argumenten overweg, maar het argument mag ook een complex getal zijn:

Dan is het vervolgens weer een kwestie van de computer aan het werk zetten om de goede uitkomsten te vinden.

Vergelijking met de formule van Stirling

Definitie van de gammafunctie
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
Het bijzondere geval z = 1.5
Numerieke bepaling van de gammafunctie
Minima en maxima
Negatieve argumenten
Complexe argumenten
Vergelijking met de formule van Stirling
Eigenschappen van de gammafunctie

Ik noemde al dat de gammafunctie een mooie vervanger is voor de faculteitsfunctie:

Dat is op zich waar, want de faculteitsfunctie volgens vergelijking (11) laat zich niet zomaar differentiëren of integreren en bovendien is de faculteitsfunctie niet continu (hij bestaat alleen voor positieve gehele getallen).

Stirling

De andere kant van het verhaal is dat ook de gammafunctie voor grote getallen een heleboel rekenwerk met zich meebrengt, terwijl de formule van Stirling altijd snel tot een antwoord leidt:

De formule van Stirling is probleemloos te differentiëren en het aantal juiste decimalen is 17 log x (indien je alle bovenstaande termen meeneemt, dus voor x = 1000 heb je al een nauwkeurigheid van 17 log 1000 = 17 ∙ 3 = meer dan vijftig cijfers goed!).

Eigenschappen van de gammafunctie

Definitie van de gammafunctie
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
Het bijzondere geval z = 1.5
Numerieke bepaling van de gammafunctie
Minima en maxima
Negatieve argumenten
Complexe argumenten
Vergelijking met de formule van Stirling
Eigenschappen van de gammafunctie

We vonden al deze essentiële eigenschap van de gammafunctie:

Maar de gammafunctie kent meer eigenschappen en de volgende is een hele belangrijke. Dit is de definitie van de gammafunctie:

Dan geldt uiteraard:

De variabele t is een dummy variabele, ik mag daarvoor ook iedere andere naam gebruiken, bijvoorbeeld ut:

En ik mag probleemloos doen alsof t een of andere constante is en u de integratievariabele:

Vervolgens ga ik de vergelijkingen (31) en (34) met elkaar vermenigvuldigen:

Integreren naar t is nu simpel dus dat ga ik doen:

De oplossing van deze integraal zoek ik op in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit resultaat:

Wanneer ik vervolgens nog bedenk dat (voortbordurend op vergelijking (9)):

Euler

Hiermee kan ik vergelijking (37) anders opschrijven en kom ik tot de reflectieformule van Euler:

Dit heet een reflectieformule, omdat het een relatie geeft tussen twee functiewaarden (van dezelfde functie) indien het argument van teken wisselt.

Indien z een complex getal is dan wordt de gammafunctie:

Voor de complex geconjugeerde van z wordt de gammafunctie:

Ik vergelijk de bovenstaande twee vergelijkingen:

Hieruit blijkt dat de gammafunctie van het complex geconjugeerde argument gelijk is aan de complex geconjugeerde gammafunctie van het niet-complex geconjugeerde argument. Of anders gezegd: wanneer het argument complex conjugeert dan doet de functiewaarde dat ook:

Dit leidt ons naar de volgende eigenschap indien z zuiver imaginair is (het reële deel van z is dan nul):

In dat geval wordt de reflectieformule van Euler:

En wanneer ik daar de absolute waarde van neem krijg ik:

Samengevat, dit is de essentiële eigenschap van de gammafunctie:

De reflectieformule van Euler:

Die zie je vaak in deze vorm, maar dan is het strikt genomen geen reflectieformule meer:

De gammafunctie van het complex geconjugeerde argument is gelijk aan de complex geconjugeerde gammafunctie van het niet-complex geconjugeerde argument:

Indien z zuiver imaginair is geldt: