Ik laat vanaf grote afstand een baksteen in een zwart gat vallen en diverse kabouters bevinden zich in de buurt van het zwarte gat. Iedere kabouter staat op een raketmotor, want anders zou hij direct in het zwarte gat verdwijnen, en is daardoor een stationaire waarnemer [Engels: hovering observer of shell observer]. De raketmotor is zo afgesteld dat de zwaartekracht van het zwarte gat precies gecompenseerd wordt en daardoor blijft de kabouter op dezelfde positie. Met welke versnelling zien de kabouters de baksteen passeren?

In dit vraagstuk heb ik de differentiaalvergelijkingen afgeleid van een geodetische lijn rondom een niet-roterende puntmassa. Een baksteen die ik loslaat in de buurt van een zwart gat beweegt onmiskenbaar geodetisch (de baksteen heeft geen aandrijvingsmechanisme, hij is in vrije val). Ik heb op die pagina onder andere de volgende constante van de beweging gevonden (vergelijking (21) van die pagina):

Hierin is R_s de Schwarzschild-straal, de horizon van een zwart gat:

Tevens geldt voor de baksteen en voor iedere kabouter en voor iedereen dat er alleen maar tijd verstrijkt, zijn eigentijd τ: Door de vergelijkingen (1) en (3) te combineren krijg ik: Het rechterlid is een constante en dus is het linkerlid ook een constante, ongeacht waar de baksteen is en wat zijn snelheid is. Laat ik dat eens opschrijven voor verschillende waarden van r: In dit vraagstuk heb ik de snelheid afgeleid van een baksteen die in een niet-roterend zwart gat valt volgens een nabije stationaire waarnemer. Daar vond ik ook relaties tussen de tijden en afstanden van stationaire waarnemers op verschillende plaatsen in de ruimtetijd: Hierin zijn τ en ρ de tijd- en plaatsvariabelen van de kabouters. In het linkerlid van vergelijking (5) is r een variabele, maar in het rechterlid heeft r_i een vaste waarde (dus simpelweg een getal) en zijn de betrokkenen stationair. Dat opent de mogelijkheid om vergelijking (6a) in te brengen: Dit ga ik nader onder de loep nemen voor één waarde van r, ik neem i = 1: Ik haal even de Schwarzschild-oplossing (oftewel de Schwarzschild-metriek) op, want die is hier van toepassing: Ik laat de baksteen vallen, dus er is radiële inval, en dat impliceert dat dφ = 0 en dθ = 0: Hier vul ik vergelijking (3) in: En hier vul ik vervolgens vergelijking (8) in en ga ik wat knutselen: Zoals je ziet heb ik de minoplossing gekozen, want de baksteen zal richting het zwarte gat gaan bewegen, en de oorsprong van mijn assenstelsel ligt in het middelpunt van het zwarte gat.

Wanneer ik r₁ = ∞ stel, dus ik plaats de stationaire waarnemer ver weg van het zwarte gat, dan wordt vergelijking (12): En dit is inderdaad de snelheid van de baksteen zoals die wordt waargenomen door een waarnemer ver verwijderd van het zwarte gat (zie dit vraagstuk).

Ik kan de snelheid volgens vergelijking (12) vertalen naar de snelheid volgens de kabouters, die vlakbij het zwarte gat stationair aanwezig zijn, met behulp van de vergelijkingen (6): Ook nu kan ik r₁ = ∞ stellen, dus ik plaats de nabije stationaire waarnemer die zich daar bevindt ver weg van het zwarte gat (en dan is hij natuurlijk niet meer nabij, maar dat zien we even door de vingers), en dan wordt vergelijking (14): En dit is inderdaad de snelheid van de baksteen zoals die wordt waargenomen door een waarnemer vlakbij het zwarte gat (zie dit vraagstuk).

Nu denk je wellicht waarom ik al deze moeite heb gedaan om te komen tot reeds bekende resultaten, maar dat komt omdat vergelijking (14) de enig juiste opmaat is naar het vinden van de versnelling van de baksteen zoals waargenomen door de kabouters, de nabije stationaire waarnemers. Voor de versnelling zoals zij die waarnemen geldt: Hier ga ik de vergelijkingen (6b) en (14) in invullen: Uiteindelijk ben ik geïnteresseerd in de plek waar r = r₁: Voor grote waarden van r vind ik het Newtonse equivalent: En voor r = R_s, wanneer de baksteen door de horizon gaat, wordt de versnelling oneindig: Het is nu uiteraard tijd voor een grafiek. Ik stel R_s = 1 (horizontaal staat dan de afstand tot het centrum van het zwarte gat uitgezet in Schwarzschild-stralen) en c = 1. Ik zet de negatieve versnelling uit zodat alles netjes boven de horizontale as ligt. De vorige grafiek begon bij 40 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon en ik zoom even in vanaf 10 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon. Ik zoom nog even verder in. De onderstaande grafiek begint bij één Schwarzschild-straal vanaf de horizon. De kabouters zien de versnelling van de baksteen oneindig worden op het moment dat die door de horizon gaat. Let wel, dat is alleen het geval indien ze zich daar ook precies bevinden en dat is onmogelijk, want dan zou hun raketmotor hen oneindig moeten versnellen om te voorkomen dat ze in het zwarte gat verdwijnen en dat kan niet. Oftewel, de kabouters zien de baksteen met een oneindige versnelling door de horizon gaan in het limietgeval dat ze zich daar ook werkelijk bevinden. Omdat de horizon onbereikbaar is voor de kabouters (en voor iedereen) en ze slechts tot op enige afstand kunnen naderen zullen ze de baksteen altijd met een eindige versnelling voorbij zien komen.

Deze tabel geldt voor een niet-roterend zwart gat	Voor een verre stationaire waarnemer	Voor een nabije stationaire waarnemer	Voor een meebewegende waarnemer
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking		Toon uitwerking
De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking (= deze pagina)	Toon uitwerking