In dit vraagstuk heb ik de differentiaalvergelijkingen afgeleid van een geodetische lijn rondom een niet-roterende puntmassa. Een baksteen die ik loslaat in de buurt van een zwart gat beweegt onmiskenbaar geodetisch (de baksteen heeft geen aandrijvingsmechanisme, hij is in vrije val). Daarom neem ik wat vergelijkingen over van die pagina, om precies te zijn de vergelijkingen (13), (15) en (21): De vergelijkingen (2) en (3) vul ik in in vergelijking (1): De baksteen zal richting het zwarte gat gaan bewegen, dus ik heb het minteken te kiezen (want het middelpunt van het zwarte gat is de oorsprong van mijn coördinatenstelsel): Het linkerlid, de breuk dr/dt, is de snelheid van de baksteen voor een waarnemer ‘ergens ver weg’ (in dit geval ben ik dat, de persoon die de baksteen loslaat): Ik laat de baksteen in het zwarte gat vallen, dus ik gooi niet in deze of gene richting, er is radiële inval, en daarom is het impulsmoment gelijk aan nul (J = 0): Ik laat de baksteen ‘gewoon’ los vanuit een positie ‘ver weg’, dus de beginsnelheid is nul. Oftewel, v = 0 voor r = ∞: Hiermee wordt vergelijking (7): Dit is de snelheid van de baksteen bezien vanuit een waarnemer op een positie ‘ergens ver weg’. Het is wel interessant om dit resultaat te vergelijken met een klassieke berekening. Klassiek (newtoniaans) is het zwaartekrachtveld van een zwart gat: De potentiaal op een bepaald punt (op een afstand r) is de integraal hiervan: Tijdens het vallen van de baksteen vindt een uitruil plaats tussen potentiële energie en kinetische energie: En ik kies om dezelfde reden als voorheen weer het minteken:

Ik breng de Schwarzschild-straal even in herinnering, de straal van een zwart gat:

Ik ga de vergelijkingen (9) en (13) uitdrukken in Schwarzschild-stralen: Hier ga ik uiteraard een grafiek van maken en ik stel R_s = 1 (horizontaal staat dan de afstand tot het centrum van het zwarte gat uitgezet in Schwarzschild-stralen) en c = 1 (dit betekent dat verticaal de snelheid staat uitgezet als fractie van de lichtsnelheid). Ik zet de negatieve snelheid uit zodat alles netjes boven de horizontale as ligt. De vorige grafiek begon bij 40 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon en ik zoom even in vanaf 10 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon. Klassiek bezien heeft de baksteen de lichtsnelheid op het moment dat die de horizon passeert, terwijl relativistisch bezien de baksteen tot stilstand komt bij de horizon. Voor alle duidelijkheid: dit is allemaal voor een waarnemer op grote afstand van het zwarte gat.

We zien ook dat de relativistische snelheid, de groene lijn, een maximum vertoont. Ik ga uitrekenen waar dit maximum ligt en daarvoor ga ik vergelijking (15) differentiëren naar r: Vervolgens ga ik dit gelijk aan nul stellen: We zijn uiteraard geïnteresseerd in de rechter oplossing en daarbij hoort de volgende snelheid: De baksteen bereikt een maximale snelheid op twee Schwarzschild-stralen van de horizon en heeft dan een snelheid die bijna veertig procent van de lichtsnelheid is.

Vraagstukken over zwarte gaten:

• Waarom de naam “zwart gat”?
• Wat maakt een zwart gat tot een zwart gat?

Deze tabel geldt voor een niet-roterend zwart gat	Voor een verre stationaire waarnemer	Voor een nabije stationaire waarnemer	Voor een meebewegende waarnemer
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking		Toon uitwerking
De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking (= deze pagina)		Toon uitwerking
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking		Toon uitwerking
De baan van een baksteen die naar een zwart gat wordt gegooid	Toon uitwerking