Tensoren, vraagstuk 7

Laat zien dat de Riemann-tensor anti-symmetrisch is in de laatste twee indices.

Dit is de Riemann-tensor:

De Riemann-tensor volgens vergelijking (1) is gegeven in Christoffel-symbolen. De definitie van de Christoffel-symbolen van de eerste soort is:

En de definitie van de Christoffel-symbolen van de tweede soort is:



In moderne (of alternatieve) notatie ziet dat er als volgt uit:





Een zeer vervelende bijkomstigheid is dat de mintekens in de vergelijkingen (4) en (5) geen historische overeenstemming hebben bereikt. Tot op de dag van vandaag zul je er alert op moeten zijn dat de ene auteur wel mintekens gebruikt en een ander niet.

Maar goed, ik ga even een klein beetje knutselen met vergelijking (1):



En zo gemakkelijk bereiken we reeds het antwoord. Door de derde index en de vierde index van de Riemann-tensor te verwisselen wisselen alle componenten van de tensor van teken. Of heel netjes gezegd: de Riemann-tensor is anti-symmetrisch in de laatste twee indices (symmetrisch betekent dat je probleemloos twee indices mag verwisselen en anti-symmetrisch betekent dat bij verwisseling van twee indices er een tekenwisseling plaatsvindt).