Invariantie van het inwendig product
Dat het
inwendig product invariant is
wordt eigenlijk al duidelijk wanneer je naar de definitie kijkt:
Het enige dat hier in voorkomt zijn de
normen
(= groottes = lengtes) van de beide
vectoren
en de
cosinus van de hoek tussen de beide
vectoren.
Ongeacht hoe ik mijn coördinaten aanleg, daarmee verandert er natuurlijk niets aan de
normen van de
vectoren en ook niets aan de hoek die ze insluiten.
Ik kan vergelijking (1) iets anders opschrijven:
De term tussen haakjes is de projectie van de ene
vector
op de andere zoals onderstaand plaatje laat zien.
Ook hieruit blijkt geen enkele afhankelijkheid van coördinaten of assen.
Met behulp van de metrische tensor g kan ik het
inwendig product uitschrijven
in de componenten van de beide
vectoren:
Laat ik dit eens in twee dimensies uitwerken.
De
covariante componenten van
v zijn:
En de
contravariante componenten van
w zijn:
Hierin is α de hoek tussen de coördinaatassen en β is de hoek die de
vector maakt met één der coördinaatassen.
Het
inwendig product van
v
en
w wordt dan:
Met behulp van de
som-/verschilformules
uit de
goniometrie wordt vergelijking (6) tenslotte:
Kijk, zo kom ik weer uit bij de definitie van het
inwendig product, iedere
coördinaatafhankelijkheid is eruit gevallen en dus is er invariantie.
Een nog weer andere manier om te laten zien dat het
inwendig product invariant is is de volgende.
Stel dat ik een of andere
transformatiematrix
P heb die de
contravariante componenten van een
vector v transformeert naar een ander
coördinatenstelsel:
Laat ik dat even netjes doen in tensornotatie:
Door de inverse te nemen van de
transformatiematrix P, die noem ik Q,
krijg ik een
transformatiematrix
die zorgt voor transformatie van de
covariante componenten (gelijk opgeschreven in tensornotatie,
en voor de afleiding waarom dit zo is zie
deze pagina):
Het product van P en Q is uiteraard de
eenheidsmatrix:
Of in tensortaal, dan kom ik uit bij de ‘eenheidstensor’, de Kronecker-delta:
De inverse relaties van de vergelijkingen (9) en (10) zijn:
Nu grijp ik terug op vergelijking (3) en daar stop ik de vergelijkingen (13) en (14) in:
Oftewel:
Op een wat abstractere manier volgt ook hieruit dat het
inwendig product invariant is.
De oplettende lezer zal opmerken dat ik op
deze pagina,
de pagina waar ik net naar verwees, het volgende heb afgeleid voor covariante - en contravariante
transformatiematrices:
Oftewel, om van de ene
transformatiematrix
naar de andere te komen moet ik niet alleen de inverse nemen, maar ook
transponeren.
En hierboven schreef ik:
Dat betekent dat Q de inverse is van P en dat ik niet
getransponeerd heb.
Heb ik vals gespeeld?
Wat is er aan de hand?
Ik keer weer terug naar vergelijking (3):
Ik vermenigvuldig hier de
vectoren v en
w met elkaar als volgt:
Echter, matrixtechnisch gesproken is dit alleen correct indien
v een rijvector is en
w een
kolomvector, anders schrijf ik onzin:
Een rijvector met een
matrix vermenigvuldigen geeft
het volgende resultaat:
Dit geeft hetzelfde resultaat als de
getransponeerde
matrix (b en c wisselen van plaats) vermenigvuldigen
met een kolomvector:
Ik zal dat in detail laten zien voor het
inwendig product dat ik hier aan
het bespreken ben.
De
vector v is een rijvector en die
vermenigvuldig ik met de
transformatiematrix P:
Q is de inverse van P:
De
vector w is een kolomvector en die
vermenigvuldig ik met de inverse
transformatiematrix van P, zijnde Q:
Nu bereken ik het
inwendig product
in de nieuwe - en de oude componenten:
En daaruit blijkt nogmaals de invariantie van het
inwendig product.
Met andere woorden, indien ik een covariante
vector
als kolomvector schrijf dan heb ik stiekem
getransponeerd en moet ik dat ook doen met de
transformatiematrix.
Een kolomvector is een
getransponeerde rijvector
en vice versa.
Indien de
transformatiematrix niet
overeenkomstig meebeweegt dan wordt het een zooitje.