Relativiteitstheorie, vraagstuk 37

De kapitein van een ruimteschip stuurt vanaf de achterkant van zijn schip, waar hij zich bevindt, een klok naar de voorkant van het schip. Hoe lang duurt dit voor een waarnemer die met de klok meebeweegt, oftewel, hoeveel tijd verstrijkt er op de klok? En hoeveel tijd verstrijkt er op het horloge van de kapitein? En hoeveel tijd verstrijkt er voor een knappe vrouw die dit hele gebeuren gade slaat? Verwaarloos de versnelling van de klok en stel de lichtsnelheid op 300000 km/s.
Dit is weer zo’n boeiend relativistisch vraagstuk waarbij je zeer nauwkeurig moet nadenken wat er allemaal gebeurt. Wat gebeurt er precies, maar bovenal: waar bevindt iedereen zich? De kapitein bevindt zich aan de achterkant van het schip en dat is tevens het vertrekpunt van de klok. Maar waar bevindt zich de knappe vrouw, de externe waarneemster? Daar zit de crux!

Figuur 1: het ruimteschip

Laten we eerst eens even het ruimteschip onder de loep nemen. Die zie je op het plaatje hiernaast en we doen niet te kinderachtig, het ruimteschip heeft maar liefst een lengte van 150000 kilometer. De lichtsnelheid stel ik in dit vraagstuk op precies 300000 km/s, dus de lengte van het schip is een halve lichtseconde (één lichtseconde is de afstand die het licht in één seconde aflegt, een afstand van 300000 kilometer).


Figuur 2: het ruimteschip en de kapitein

En zoals gezegd bevindt de kapitein zich achterin het schip (met oordopjes in).


Figuur 3: het ruimteschip en de kapitein en de klok

Vervolgens komen we bij de klok. Die begint zijn reis bij de achterkant van het schip en is direct op snelheid, want we verwaarlozen versnellingen. En wat is die snelheid (ten opzichte van het ruimteschip uiteraard)? Die stel ik op 2778 km/s, een 108e deel van de lichtsnelheid.

Hoeveel tijd verstrijkt er op de klok terwijl de klok van de achterkant naar de voorkant beweegt? Vanuit de klok bezien komt de voorkant van het ruimteschip met 2778 km/s op hem af en het schip ondergaat tevens een Lorentz-contractie. Daarvoor is de Lorentz-factor van belang:



Wanneer we hier de snelheid van de klok in invullen dan volgt γ = 1.00004287. Vanuit de klok waargenomen is de lengte van het ruimteschip daarom 150000/1.00004287 = 149993.57 km. De tijd die op de klok verstrijkt is de afgelegde weg gedeeld door de snelheid = 149993.57/2778 = 53.997685 seconden.

Figuur 4: de gebeurtenissen bezien vanuit de waarnemer bij de klok (niet op schaal getekend)
Of anders gezegd, wanneer we alles berekenen in seconden en lichtseconden dan is de lengte van het schip 149993.57/300000 = 0.499979 lichtseconden, de lichtsnelheid is dan 1 en de snelheid van het ruimteschip ten opzichte van de klok (en vice versa) is 1/108. Dat betekent dat de richtingscoëfficiënt van de schuine groene lijnen (in bovenstaand plaatje), die de achterkant en de voorkant van het ruimteschip aangeven, gelijk is aan −108 (de reciproke van de snelheid, en met een minteken want de lijnen gaan omlaag). De tijd die verstrijkt op de klok is dan simpelweg 108 × 0.499979 = 53.997685 seconden (het snijpunt met de t-as). En dit is natuurlijk tevens de verstreken tijd voor een waarnemer die met de klok meebeweegt.

Figuur 5: de gebeurtenissen bezien vanuit de waarnemer bij de klok (niet op schaal getekend)
Vanuit de kapitein bezien beweegt de klok zich met 2.778 km/s van hem af en voor hem is de lengte van het schip gewoon 150000 kilometer. Met behulp van een portie gezond verstand weet de kapitein dat de klok na 150000/2778 = 54 seconden bij de voorkant van het schip is aangekomen, maar het gaat er niet om wat de kapitein weet maar wat hij waarneemt. Er zal nog een lichtstraal terug moeten reizen vanaf de voorkant van het schip naar het netvlies van de kapitein om hem op te waarderen van iemand-die-weet naar iemand-die-waarneemt. De lengte van het schip is een halve lichtseconde, en dit betekent dat het licht een halve seconde nodig heeft om vanaf de voorkant van het schip naar de achterkant van het schip te gaan. Op het horloge van de kapitein verstrijken daarom 54 + 0.5 = 54.5 seconden totdat hij waarneemt dat de klok is aangekomen bij de voorkant van het schip. De lichtstraal van die gebeurtenis heb ik in het onderstaande plaatje aangegeven met een gele lijn.

Figuur 6: de gebeurtenissen bezien vanuit de kapitein (niet op schaal getekend)
Hoe is dit te rijmen met de 53.997685 seconden die op de klok verstrijken? Ook hier geldt dat dat nog middels een lichtstraal aan de kapitein kenbaar gemaakt moet worden en dat heb ik toegevoegd in figuur 5 met een gele lijn (zie het plaatje hieronder).

Figuur 7: de gebeurtenissen bezien vanuit de waarnemer bij de klok (niet op schaal getekend)
Op de klok is 53.997685 seconden verstreken (het snijpunt met de t-as). De vergelijking van de lichtstraal wordt dan t = −x + 53.997685 (de afstand x in lichtseconden). De vergelijking die de positie van de kapitein aangeeft is t = −108x. Het snijpunt van deze twee lijnen geeft x = −53.997685/107 = −151395 km en t = 53.997685 × 108/107 = 54.502336 seconden. Dit is de totale verstreken tijd, bezien vanuit de klok, die nodig is om de kapitein waar te laten nemen dat de klok inderdaad bij de voorkant van het schip is gearriveerd. En om dat te vertalen naar de waarneming van de kapitein, in zijn ruimtetijdcoördinaten, dient dit nog gedeeld te worden door de Lorentz-factor γ = 1.00004287, omdat we nu alles waarnemen vanuit de klok. Met andere woorden, alle afstanden-volgens-de-kapitein (zoals de lengte van het ruimteschip) ondergaan Lorentz-contractie en alle tijden-volgens-de-kapitein ondergaan tijddilatatie. Dit gezegd hebbende is het een kwestie van 54.502336 te delen door 1.00004287 om precies uit te komen op de 54.5 seconden die het horloge van de kapitein wegtikt.

De knappe vrouw

En dit alles wordt gade geslagen door ... een knappe vrouw!


Figuur 8: het ruimteschip, de kapitein, de klok
en de knappe vrouw

Het ruimteschip vliegt (rakelings) voorbij de knappe vrouw. De snelheid waarmee dit gebeurt stel ik op 240.000 km/s, dat is 4/5 van de lichtsnelheid.

De snelheid van de klok is 2778 km/s ten opzichte van het ruimteschip en de snelheid van het ruimteschip is 240000 km/s ten opzichte van de knappe vrouw. Om de snelheid van de klok ten opzichte van de knappe vrouw te weten te komen moeten we deze snelheden relativistisch optellen:



Een rekenmachine vertelt ons vervolgens dat de snelheid van de klok, zoals waargenomen door de knappe vrouw, 240993 km/s bedraagt. De bijbehorende Lorentz-factor is γ = 1.679084. Nu hebben we nog de Lorentz-transformaties nodig om tijden en posities van het ene referentiestelsel (dat van de knappe vrouw) om te rekenen naar het andere referentiestelsel (dat van de klok):









Omdat de klok een punt is, hij heeft niet specifiek een voorkant en achterkant zoals dat het geval is bij het ruimteschip, wordt het sommetje simpel. We weten inmiddels dat er op de klok 53.997685 seconden verstrijken en door dit te vermenigvuldigen met 1.679084 komen we uit op 90.666667 seconden, de tijd die verstrijkt volgens de knappe vrouw. Maar ook de knappe vrouw moet opgewaardeerd worden van iemand-die-weet naar iemand-die-waarneemt. Zij ziet de klok voortrazen met 240993 km/s en in die 90.666667 seconden legt de klok maar liefst 240993 × 90.666667 = 21850000 kilometer af. Dit komt overeen met 21850000/300000 = 72.833333 lichtseconden. De tijd die een lichtstraal nodig heeft om naar het netvlies van de knappe vrouw te reizen is dus 72.833333 seconden. In totaal tikken er op het horloge van de knappe vrouw daarom maar liefst 90.666667 + 72.833333 = 163.5 seconden weg.

Tenslotte is het ook nog interessant om te kijken naar het ruimtetijdinterval, die is volgens de speciale relativiteitstheorie immers constant:



De klok in zijn eigen coördinatenstelsel ziet dat er 53.997685 seconden zijn verstreken tussen zijn vertrek van de achterkant van het schip en zijn aankomst bij de voorkant. En omdat hij dit coördinatenstelsel met zich meedraagt is er voor hem geen afstand afgelegd (de klok zal zeggen dat het ruimteschip en de knappe vrouw bewegen).

In het coördinatenstelsel van de kapitein is die 53.997685 seconden tijdsgedilateerd precies 54 seconden en is de afgelegde weg voor de klok deze 54 seconden maal de relatieve snelheid van 2778 km/s = 150000 kilometer.

In het coördinatenstelsel van de knappe vrouw is die 53.997685 seconden tijdsgedilateerd 90.666667 seconden en is de afgelegde weg voor de klok deze 90.666667 seconden maal de relatieve snelheid van 240993 km/s = 21850000 kilometer.

De kapitein in zijn eigen coördinatenstelsel ziet dat er 54.5 seconden zijn verstreken tussen het vertrek van de klok vanaf de achterkant van het schip en de aankomst bij de voorkant. En omdat hij dit coördinatenstelsel met zich meedraagt is er voor hem geen afstand afgelegd (de kapitein zal zeggen dat de klok en de knappe vrouw bewegen).

In het coördinatenstelsel van de klok is die 54.5 seconden tijdsgedilateerd 54.502336 seconden en is de afgelegde weg voor de klok deze 54.502336 seconden maal de relatieve snelheid van 2778 km/s = 151395 kilometer.

In het coördinatenstelsel van de knappe vrouw is die 54.5 seconden tijdsgedilateerd 90.833333 seconden en is de afgelegde weg voor de klok deze 90.833333 seconden maal de relatieve snelheid van 240000 km/s = 21800000 kilometer.

De knappe vrouw in haar eigen coördinatenstelsel ziet dat er 163.5 seconden zijn verstreken tussen het vertrek van de klok van de achterkant van het schip en de aankomst bij de voorkant. En omdat zij dit coördinatenstelsel met zich meedraagt is er voor haar geen afstand afgelegd (de knappe vrouw zal zeggen dat de klok en het ruimteschip bewegen).

In het coördinatenstelsel van de klok is die 163.5 seconden tijdsgedilateerd 274.530287 seconden en is de afgelegde weg voor de klok deze 274.530287 seconden maal de relatieve snelheid van 240993 km/s = 66159781 kilometer.

In het coördinatenstelsel van de kapitein is die 163.5 seconden tijdsgedilateerd precies 272.5 seconden en is de afgelegde weg van het ruimteschip deze 272.5 seconden maal de relatieve snelheid van 240000 km/s = 65400000 kilometer. Dit laatste antwoord kan ik ook op een andere manier bereiken door bij figuur 6 de knappe vrouw er bij in te tekenen.

Figuur 9: de gebeurtenissen bezien vanuit de kapitein (niet op schaal getekend)
De lichtstraal die de aankomst van de klok bij de voorkant van het ruimteschip laat zien maakt van de kapitein een waarnemer van dit gedenkwaardige feit, maar dit geldt eveneens voor de knappe vrouw. De groene lijn waarlangs de knappe vrouw beweegt is t = −1.25x en de lichtstraal voldoet aan t = −x + 54.5. Het snijpunt van beide lijnen geeft x = −218 lichtseconden = −218 × 300000 = 65400000 kilometer en t = 272.5 seconden. Precies hetzelfde antwoord als wat ik al had. Het is volgens mij de hoogste tijd voor een overzichtelijke tabel (het interval geef ik zowel in kilometers als lichtseconden).
Waarnemer
Coördinatenstelsel
∆t = 53.997685 s
∆x = 0 km
s = 16199306 km
s = 53.997685 ls
∆t = 54.502336 s
∆x = 151395 km
s = 16350000 km
s = 54.5 ls
∆t = 274.530287 s
∆x = 66159781 km
s = 49050000 km
s = 163.5 ls
∆t = 54 s
∆x = 150000 km
s = 16199306 km
s = 53.997685 ls
∆t = 54.5 s
∆x = 0 km
s = 16350000 km
s = 54.5 ls
∆t = 272.5 s
∆x = 65400000 km
s = 49050000 km
s = 163.5 ls
∆t = 90.666667 s
∆x = 21850000 km
s = 16199306 km
s = 53.997685 ls
∆t = 90.833333 s
∆x = 21800000 km
s = 16350000 km
s = 54.5 ls
∆t = 163.5 s
∆x = 0 km
s = 49050000 km
s = 163.5 ls