Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De relativistische bewegingsvergelijkingen

De relativistische bewegingsvergelijkingen

Bereken de relativistische effecten op de bewegingsparameters (afstand, snelheid, versnelling en tijd) in het geval van niet-constante snelheden (versnellingen) en maak daarbij alleen gebruik van formules uit de speciale relativiteitstheorie. Ga ervan uit dat er geen (significante) massa’s in de buurt zijn.

Binnen de speciale relativiteitstheorie werken we met constante snelheden. Het is natuurlijk ook wel leuk (toch?) om dat andere gebied te verkennen waar snelheden van moment tot moment kunnen veranderen. En wanneer snelheden veranderen zijn er versnellingen aan het werk (of vertragingen, maar dat zijn negatieve versnellingen). De uitdaging is om daar aan te rekenen met de simpele formules van de speciale relativiteitstheorie en niet gelijk het zware wiskundige apparaat van de algemene relativiteitstheorie uit de kast te hoeven halen.

Zolang snelheden constant zijn is het leven heerlijk simpel, want rekenen met ‘iets’ dat van moment tot moment gelijk blijft is veel eenvoudiger dan rekenen met ‘iets’ dat continu aan verandering onderhevig is. De afgelegde weg is de integraal van de snelheid en versnelling is de afgeleide van de snelheid en dat rekent heel gemakkelijk wanneer de snelheid constant is. Voor twee waarnemers, W₁ en W₂, die met een snelheid v ten opzichte van elkaar bewegen is onderstaande tabel dan snel ingevuld:

	W₁	W₂
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tabel 1: bewegingsparameters bij constante snelheid

Lorentz

Vervolgens is het een kwestie van de Lorentz-transformaties ter hand nemen om de waarnemingen van W₁ en W₂ in elkaar om te kunnen rekenen.

Versnelling is gedefinieerd als snelheidsverandering per verstreken tijd. Maar hoe ziet versnelling eruit relativistisch gezien? Een waarnemer W₁ ziet een tweede waarnemer, W₂, voorbijkomen met een constante snelheid +v. Waarnemer W₂ ziet W₁ daarom met een snelheid −v. Op een bepaald moment, t₀ voor W₁, t₀' voor W₂, zet W₂ een constante versnelling a₀' in gang. Na een heel klein tijdje dt' is zijn snelheid een heel klein beetje dv' toegenomen:

W₁ zag eerst W₂ met een snelheid v en nu ziet hij hem met een iets hogere snelheid v + dv. W₁ neemt een snelheidsverandering waar van dv en voor W₂ is dat dv'. Vervolgens komt W₂ op het idee om de twee snelheden, zoals waargenomen door W₁, relativistisch van elkaar af te trekken om zodoende een relatie te vinden tussen dv' en dv. Want vanuit W₂ gezien moet het verschil dv, zoals waargenomen door W₁, via een relativistische vertaalslag overeenkomen met zijn dv'. Het relativistisch optellen van snelheden (of aftrekken, want dat is het optellen van een negatieve snelheid) gaat als volgt:

En daar maken we nu gebruik van:

Omdat dv infinitesimaal klein is en daarom te verwaarlozen is ten opzichte van v gaat deze vergelijking over in (hierin is γ de Lorentz-factor):

Oftewel, na combinatie met vergelijking (1):

De volgende stap is dat we beide zijden van vergelijking (5) gaan integreren:

Omdat de versnelling a₀' constant is haal ik die buiten de integraal:

Ik heb hier gebruik gemaakt van de tabel met integralen. En om het geheugen even op te frissen, dit is de tangens hyperbolicus:

En de functie artanh is de inverse functie van de tangens hyperbolicus, de area tangens hyperbolicus. Voor het gemak kies ik mijn beginwaarden zo dat:

Waardoor ik van vergelijking (7) dit overhoud:

Ik heb hier t' staan als functie van v, maar het omgekeerde is natuurlijk veel interessanter. Na heel weinig geknutsel heb ik dit:

De breuk a₀'t'/c gaan we nog veel vaker tegenkomen en daarom stel ik:

Waardoor (11) overgaat in:

Oftewel:

Waar W₁ en W₂ het over eens zijn is hun relatieve snelheid, want die moet voor beide waarnemers overeenkomen. Daarom kan ik voor vergelijking (13a) ook schrijven:

Taylor

Ik ga gebruik maken van de reeksontwikkeling van de e-macht. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Merk op dat voor lage waarden van t', dus wanneer het versnellen net is begonnen en de snelheid nog laag is, we het volgende kunnen schrijven voor de tangens hyperbolicus:

Daardoor gaat vergelijking (13) over in de klassieke formule:

Gaat t' daarentegen naar oneindig dan gaat de tangens hyperbolicus naar één:

Waardoor vergelijking (13) wordt:

In het limietgeval nadert de snelheid v naar c (maar die zal nimmer bereikt worden).

De volgende twee stappen zijn relatief simpel want de afgelegde weg is de integraal van de snelheid en versnelling is de afgeleide van de snelheid. Ik bereken eerst de afgelegde weg:

Ik heb hier weer gebruik gemaakt van de tabel met integralen. Met behulp van vergelijking (13b) kan ik dit ook schrijven als:

De cosinus hyperbolicus is te schrijven als een functie van de tangens hyperbolicus:

Nu ga ik gebruik maken van de reeksontwikkeling van de natuurlijke logaritme. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Ik onderzoek weer even de limietgevallen, eerst voor t' nadert naar nul. De logaritme van de cosinus hyperbolicus wordt dan:

Vergelijking (19) wordt dan:

Hetgeen inderdaad weer is wat we klassiek zouden verwachten. En indien t' naar oneindig gaat dan ontstaat:

Dan wordt vergelijking (19):

En dit is helemaal in overeenstemming met onze relativistische verwachtingen.

Tenslotte bereken ik nog de versnelling (met behulp van vergelijking (13)):

Dit kan ik wederom ook anders opschrijven. De secans hyperbolicus is te schrijven als een functie van de tangens hyperbolicus en ik maak gebruik van vergelijking (13a):

Ik onderzoek weer even de limietgevallen, eerst voor t' nadert naar nul. De cosinus hyperbolicus wordt dan:

Waarmee vergelijking (25) wordt:

Hetgeen inderdaad weer is wat we klassiek zouden verwachten. En indien t' naar oneindig gaat dan ontstaat:

Dan wordt vergelijking (25):

Moeder Natuur

En dit is weer helemaal in overeenstemming met onze relativistische verwachtingen. Voor t' = ∞ versnellen ze simpelweg niet meer, wat ze ook doen. Ergens ligt een grens, omdat de lichtsnelheid niet kan worden overschreden. Moeder Natuur zegt hier “het is mooi geweest!”.

Zo komen we tot het volgende overzicht:

	W₂	Limiet voor t’ → 0	Limiet voor t’ → ∞
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tabel 2: bewegingsparameters bij constante versnelling voor W₂

De grafiek van x’ als functie van t’ voor a₀’ = 10 m/s²,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

De grafiek van v’ als functie van t’ voor a₀’ = 10 m/s²,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

De grafiek van a’ als functie van t’ voor a₀’ = 10 m/s²,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

Verder hebben we natuurlijk ook nog de formule voor tijddilatatie tot onze beschikking, waargenomen vanuit W₁:

Uit de vergelijkingen (5) en (30) volgt:

Nu hebben we alles wat we willen weten naar het referentiestelsel van W₁ vertaald. De volgende stap is weer dat we beide zijden van deze vergelijking gaan integreren:

Hier heb ik nogmaals gebruik gemaakt van de tabel met integralen. Ik kies mijn beginwaarden weer comfortabel:

Waardoor ik dit overhoud:

Ik heb hier t staan als functie van v, maar ik ga weer naar het omgekeerde toewerken:

Ik onderzoek weer even de limietgevallen, eerst voor t nadert naar nul en daarna voor t gaat naar oneindig:

Wederom geen verrassingen.

De volgende twee stappen zijn weer het uitrekenen van de afgelegde weg en de versnelling. Ik bereken eerst de afgelegde weg:

Ik heb nogmaals gebruik gemaakt van de tabel met integralen. Met behulp van vergelijking (34) kan ik dit ook schrijven als volgt:

En vervolgens onderzoek ik weer de limietgevallen, eerst voor t nadert naar nul en daarna voor t gaat naar oneindig:

Ook deze resultaten zijn helemaal volgens verwachting.

Tenslotte bereken ik nog de versnelling:

Merk op dat ik ook vergelijking (31) had kunnen nemen om het volgende te doen:

Op deze manier vind ik een vergelijking om de momentane versnelling om te rekenen naar het andere stelsel als functie van de momentane snelheid. Dat is echter niet wat we zoeken, we willen uitdrukkingen als functie van de tijd.

Ik onderzoek voor de laatste maal de limietgevallen, eerst voor t nadert naar nul en daarna voor t gaat naar oneindig:

En ook deze laatste resultaten zijn wat we verwacht hadden.

Zo komen we tot het volgende overzicht:

	W₁	Limiet voor t → 0	Limiet voor t → ∞
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tabel 3: bewegingsparameters bij constante versnelling voor W₁

Om goed te kunnen vergelijken zet ik tabel twee er nogmaals bij:

	W₂	Limiet voor t’ → 0	Limiet voor t’ → ∞
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tabel 2: bewegingsparameters bij constante versnelling voor W₂

Ondanks dat we hele verschillende uitdrukkingen gevonden hebben voor de beide waarnemers voor afstand, snelheid en versnelling komen in de limietgevallen de waarnemingen exact overeen. Voor t = 0 gaan bij beide waarnemers de bewegingsvergelijkingen over in die van de klassieke mechanica en wanneer t naar oneindig gaat lopen ze tegen dezelfde relativistische beperkingen aan.

De grafiek van x als functie van t voor a₀’ = 10 m/s²,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

De grafiek van v als functie van t voor a₀’ = 10 m/s²,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

De grafiek van a als functie van t voor a₀’ = 10 m/s²,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

Nu ontbreekt er nog één belangrijk ding, namelijk het omrekenen van de tijd in het ene referentiestelsel naar de tijd in het andere referentiestelsel. Zoals gezegd, waar W₁ en W₂ het over eens zijn is hun relatieve snelheid, want die moet voor beide waarnemers overeenkomen (de vergelijkingen (11) en (35)):

Hiermee kunnen we de afgelegde weg als functie van de tijd, x (t) = vergelijking (38), ook schrijven als functie van t' (dat is wel handig om bij de hand te hebben):

En het resultaat van vergelijking (44) is rechtstreeks omkeerbaar tot:

En wat zijn dan de limietgevallen van de beide tijden? Dat ga ik ook nog even uitzoeken, eerst voor de extrema van t':

Voordat ik de volgende limieten ga uitrekenen wil ik er nog even op wijzen dat je de area sinus hyperbolicus kunt omschrijven naar een natuurlijke logaritme, en vice versa, als volgt:

In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Nu komen de extrema van t:

Voor lage waarden van t lopen beide tijden nog synchroon, maar dat wordt uiteindelijk heel anders. De tijden gaan dan exponentieel respectievelijk logaritmisch uit de pas lopen!

Na al dit gereken is ons overzicht compleet:

	W₁	W₂
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tijd
Tabel 4: bewegingsparameters bij constante versnelling

Hier wordt het grote verschil met constante snelheden zichtbaar. De tijddilatatie bij constante snelheid is gezien vanuit de ene waarnemer, respectievelijk de andere waarnemer:

Hier hebben we te maken met een volkomen symmetrische situatie. De tijddilatatie bij constante versnelling is echter:

Wanneer er versnelling in het spel komt dan is de situatie niet meer symmetrisch!

De grafiek van t als functie van t’ voor a₀’ = 10 m/s²,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

De grafiek van t’ als functie van t voor a₀’ = 10 m/s²,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

Ik laat nog wat vergelijkende grafieken zien. Hieronder staan vier grafieken waarbij op de horizontale as een periode van tien miljoen seconden is uitgezet (ruim 115 dagen). Tot ongeveer een miljoen seconden (ruim anderhalve week) gaan klassiek en relativistisch gelijk op, maar geleidelijk worden kleine verschillen zichtbaar.

De grafiek van x’ als functie van t’ (de groene lijn), x als functie van t (de blauwe lijn)
en klassiek (x = 0.5a₀’t², de rode lijn) voor a₀’ = 10 m/s²

De grafiek van v’ als functie van t’ (de groene lijn), v als functie van t (de blauwe lijn)
en klassiek (v = a₀’t, de rode lijn) voor a₀’ = 10 m/s²

De grafiek van a’ als functie van t’ (de groene lijn), a als functie van t (de blauwe lijn)
en klassiek (a = a₀’, de rode lijn) voor a₀’ = 10 m/s²

De grafiek van t’ als functie van t (de groene lijn), t als functie van t’ (de blauwe lijn)
en klassiek (t = t’, de rode lijn) voor a₀’ = 10 m/s²

Hieronder staan vier grafieken waarbij op de horizontale as een periode van een miljard seconden is uitgezet (ruim dertig jaar). De relativistische effecten worden overduidelijk zichtbaar. Niets kan sneller dan het licht en de tijd wordt voor reiziger en achterblijver onverenigbaar. De rode lijnen zijn volgens de klassieke wetten en deze worden hopeloos onbruikbaar.

De grafiek van x’ als functie van t’ (de groene lijn), x als functie van t (de blauwe lijn)
en klassiek (x = 0.5a₀’t², de rode lijn) voor a₀’ = 10 m/s²

De grafiek van v’ als functie van t’ (de groene lijn), v als functie van t (de blauwe lijn)
en klassiek (v = a₀’t, de rode lijn) voor a₀’ = 10 m/s²

De grafiek van a’ als functie van t’ (de groene lijn), a als functie van t (de blauwe lijn)
en klassiek (a = a₀’, de rode lijn) voor a₀’ = 10 m/s²

De grafiek van t’ als functie van t (de groene lijn), t als functie van t’ (de blauwe lijn)
en klassiek (t = t’, de rode lijn) voor a₀’ = 10 m/s²

Tenslotte wil ik nog iets onder de aandacht brengen. Ik ga tabel 4 nogmaals opschrijven, maar dan met β erin:

	W₁	W₂
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tijd
Tabel 5: bewegingsparameters bij constante versnelling als functie van β

Kijk, dat ziet er al veel mooier uit. Eerder stelde ik:

Maar ik had ook kunnen stellen:

Dan krijgt tabel 5 deze bijzondere aanblik:

	W₁	W₂
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tijd
Tabel 6: bewegingsparameters bij constante versnelling met imaginaire β