Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De Lorentz-factor

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

De Lorentz-factor

Leid op de meest simpele manier de Lorentz-factor γ af.

Stel ik heb een bepaald referentiestelsel:

Grafiek

In dit stelsel beweegt zich een lichtstraal van A naar B:

Grafiek

De snelheid van de lichtstraal is uiteraard de lichtsnelheid c en de tijd die ‘heerst’ in dit stelsel noem ik τ. Voor de afgelegde weg van A naar B geldt dan:

Vergelijking

Dit stelsel passeert een ander stelsel met een snelheid v:

Grafiek

Vanuit dat andere stelsel ziet men uiteraard ook de lichtstraal van A naar B gaan, maar tevens ziet men dat het punt B zich verplaatst terwijl de lichtstraal onderweg is van A naar B. Dus wanneer de lichtstraal aankomt in B heeft B zich een stukje verplaatst en dit punt noem ik B^*:

Grafiek

Vanuit dit andere stelsel bezien is de snelheid van de lichtstraal uiteraard ook de lichtsnelheid c (want de lichtsnelheid is voor alle waarnemers gelijk) en de tijd die ‘heerst’ in dit stelsel noem ik t. Voor de afgelegde weg van A naar B^* geldt dan:

Vergelijking

En voor de verplaatsing van B naar B^* kan ik opschrijven:

Vergelijking

Pythagoras

Op de driehoek ABB^* ga ik de stelling van Pythagoras toepassen:

Vergelijking

Hierin ga ik de vergelijkingen (1), (2) en (3) invullen:

Vergelijking

Ik stel:

Vergelijking

Vergelijking (5) wordt dan:

Vergelijking

Tenslotte stel ik nog:

Vergelijking

Lorentz

Zodat ik tenslotte kom tot:

Vergelijking

De factor γ is de geschiedenis ingegaan als de Lorentz-factor.

Gamma

In de situatie die ik hierboven helemaal heb uitgewerkt zie je dat de tijden van beide stelsels uiteindelijk met een factor γ uit de pas gaan lopen. Maar ook (bijvoorbeeld) afstanden en massa’s veranderen per waarnemer volgens ditzelfde getal. Daarnaast duikt γ ook op in de transformatieformule’s van andere grootheden zoals frequentie en amplitude, en in de Lorentz-transformaties. Oftewel, wanneer je je in relativiteitstheorie gaat verdiepen dan vliegen de γ’s je al snel om de oren.

Taylor

De Lorentz-factor γ heeft geen echte klassieke tegenhanger, anders dan het getal één. Klassiek is tijd immers gewoon tijd en dit gold ook nog voor een aantal andere zaken. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Vergelijking

Hiermee kan ik γ ook schrijven als volgt:

Vergelijking

Merk op dat de eerste term gelijk is aan de klassieke waarde en alle volgende termen zijn relativistische bijdragen (die pas significant worden wanneer v in de buurt komt van c):

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van γ als functie van β,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

Miniatuur

Door naar het volgende vraagstuk: de lengtecontractie van een trein

Miniatuur

Terug naar het vorige vraagstuk: elektrische kracht of magnetische kracht?

Miniatuur

Overzichtspagina met vraagstukken

Miniatuur

Overzichtspagina relativiteitstheorie

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x³ (−a² + x²)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin x)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = ln (a + x)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

Miniatuur

De integralen van
f (x) = xⁿ e^−ax²

Miniatuur

De integralen van
f (x) = xⁿ ∙ 1/(ax ± b)^1/2

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 16

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 61

Miniatuur

Vraagstukken xref voor de UT

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = (a + x)^p

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

Miniatuur

De stelling van Stokes

Miniatuur

Bernoulli-getallen

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = arg z

Miniatuur

Relativiteitstheorie basic, hoofdstuk 3: het balletje

Miniatuur

Uitleg artikel precessie van Mercurius

Miniatuur

Het relativistische impulsmoment van een holle bol

Miniatuur

Een lichtstraal bij een massa

Miniatuur

Het modelleren van de dichtheid van de Zon

Miniatuur

De Boltzmann-verdeling

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026