Zoals een speedboot golven veroorzaakt in het water, zie het plaatje hieronder, zo is het ook met objecten die zich bewegen door de ruimtetijd, zij veroorzaken golven in de ruimtetijd. Omdat de ruimtetijd een ‘starre constructie’ is zijn golven in de ruimtetijd, zwaartekrachtgolven, minimaal. Zelfs een groot object als een planeet genereert zwaartekrachtgolven met een totaal onmeetbare amplitude. Omdat het betreffende object door de ruimtetijd ‘ploegt’ en golven genereert kost dat vermogen. Hoeveel? Dat ga ik op deze pagina uitrekenen voor twee hemellichamen die om elkaar heen draaien in een elliptische baan.

De oorsprong van het assenstelsel plaats ik in (het zwaartepunt van) één der beide hemellichamen, dus één hemellichaam ‘beweegt niet’. Daarnaast is het belangrijk om de notatie duidelijk te maken, zodat daar geen verwarring over kan ontstaan. De afstand tussen (de zwaartepunten van) beide hemellichamen is r, een vector met de volgende componenten: De snelheid is de afgeleide hiervan, respectievelijk als vector, in componenten en radieel (gericht langs r, daarom de index r):

De kracht die beide hemellichamen op elkaar uitoefenen is uiteraard gericht langs r, en uit de eerste wet van Newton volgt dat geldt voor de versnelling:

Omdat m een scalaire grootheid is, een getal, volgt hieruit dat de versnelling ook gericht is langs r.

De versnelling is de afgeleide van de snelheid, wederom als vector, in componenten en radieel (gericht langs r, daarom de index r): Voor dit probleem hebben we ook nog de schok [Engels: jerk, vandaar de letter j] nodig, de afgeleide van de versnelling, nogmaals als vector, in componenten en radieel (gericht langs r, daarom de index r): Omdat het zwaartekrachtveld zwak is én omdat de snelheden niet-relativistisch zijn mag ik Newtonse hemelmechanica gebruiken. Daarom haal ik even wat vergelijkingen op van de pagina hemelmechanica, om te beginnen de totale massa (vergelijking (21a) op die pagina): De afstand r (vergelijking (58) op de pagina hemelmechanica): De snelheid v (vergelijking (63) op de pagina hemelmechanica): De radiële snelheid v_r (vergelijking (65) op de pagina hemelmechanica): En tot slot de gereduceerde massa (vergelijking (94) op de pagina hemelmechanica): Ik gebruik uiteraard de gravitatiewet van Newton: Hieruit volgt voor de versnelling: Of als vector geschreven (het dakje boven de r betekent dat het een eenheidsvector is): Door de versnelling te differentiëren naar de tijd vind ik de schok: En om voorbereid te zijn op wat komen gaat ga ik een aantal inwendige producten uitrekenen: De volgende stap is om het traagheidsmoment uit te rekenen, de wiskundige definitie van het traagheidsmoment is: Omdat het hier gaat om twee hemellichamen, die ik voorstel als puntmassa’s, wordt het traagheidsmoment: Dit moet ik driemaal differentiëren naar t (de tijd, weldra zal duidelijk worden waarom). De eerste afgeleide is: De tweede afgeleide is: En de derde afgeleide is: Met behulp van de vergelijkingen (2), (4) en (5) wordt dit: Vervolgens ga ik kwadrateren: Nu ga ik sommeren over de indices: Dit gaan we even in stukken hakken, ik begin met de eerste term tussen de haakjes: Vervolgens de tweede term: En tenslotte de derde term: Vervolgens stop ik dit alles in vergelijking (23): Het spoor [Engels: trace, de som van de componenten op de hoofddiagonaal] van het traagheidsmoment (in tensorvorm) is: Ook dit moet ik driemaal differentiëren naar t. De eerste afgeleide is: De tweede afgeleide is: En de derde afgeleide is: Met behulp van de vergelijkingen (2), (4) en (5) wordt dit: Vervolgens ga ik weer kwadrateren: Dan kunnen we nu echt beginnen aan het oorspronkelijke probleem. Het vermogen dat de beide hemellichamen uitzenden in de vorm van zwaartekrachtgolven volgt uit de massaquadrupoolvergelijking [Engels: mass quadrupole equation, dat zijn drie woorden, maar in correct Nederlands moet het aan elkaar]: Q is de quadrupooltensor en de hoge index T betekent dat het spoor van de tensor niet meegenomen dient te worden [Engels: trace-free of traceless]. In meer detail ziet de massaquadrupoolvergelijking er als volgt uit: Al het voorwerk is al verricht, dus ik kan de vergelijkingen (25) en (31) direct invullen: Nu ga ik de inwendige producten, de vergelijkingen (15), inzetten om orde te scheppen in deze chaos: Kijk, dat ziet er een stuk netter uit. Merk ook op dat de schok er helemaal niet meer in voorkomt. Dan komt nu het moment om baanelementen in te brengen:

• de halve lange baanas: a,
• de numerieke excentriciteit, of kortweg excentriciteit: e,
• de hoek tussen de actuele positie van het hemellichaam en het periapsis: θ.

Met behulp van de vergelijkingen (8), (9) en (12) wordt vergelijking (35): Vervolgens ga ik r omschrijven middels vergelijking (7) en krijg ik het vermogen als functie van de hoek θ: De eerste term aan de rechterkant bevat alleen maar constanten, en daarom is het wel zinvol om de overige termen even onder te brengen in een aparte functie: De grafieken laten duidelijk zien dat:

• het vermogen constant is voor een cirkelvormige baan (e = 0, de rode lijn in bovenstaande grafieken),
• het vermogen maximaal is voor θ = 0 = 2π, dus tijdens de passage van het periapsis waar de snelheid het hoogst is,
• het vermogen minimaal is voor θ = π, dus tijdens de passage van het apoapsis waar de snelheid het laagst is,
• het vermogen zeer sterk toeneemt wanneer de excentriciteit van de baan toeneemt.

Ik kijk nog even naar de passage van het periapsis. Daar is de hoek θ nul en dan wordt het vermogen maximaal: De energie die dan in één seconde weggestraald wordt is:

Volgens Einstein’s beroemde formule is energie equivalent aan massa:

Gecombineerd met vergelijking (40) wordt dit: Ik raadpleeg de tabel met fysische gegevens:

Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10−11	m3/(kg s2)
Lichtsnelheid	c	(exact) 2.99792458 ∙ 108	m/s
Zon
Massa	m	1.9891 ∙ 1030	kg
Aarde
Halve lange baanas	a	7.60487985 ∙ 1010	m
Excentriciteit van de baan	e	0.0167086
Massa	m	5.9742 ∙ 1024	kg

Waarna een rekenmachine mij vertelt dat wanneer de Aarde door het perihelium gaat er per seconde 6.4 kJ aan energie uitgestraald wordt en dat de Aarde daardoor per seconde ruim 70 picogram massa verliest.

Tot slot geef ik nog wat vergelijkingen voor het bijzondere geval dat de baan perfect circulair is, dan geldt e = 0 en wordt vergelijking (37): Voor de snelheid, vergelijking (8), geldt in dat geval: Hiermee wordt vergelijking (43): Voor de hoeksnelheid geldt in het algemeen: Hiermee wordt vergelijking (45): Voor het traagheidsmoment van twee hemellichamen die circulair om elkaar heen draaien geldt (voor de afleiding zie deze pagina): Hiermee wordt vergelijking (47):