Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

Vraagstukken vectoren

Overzicht voor studenten van de Universiteit Twente

1		We beschouwen een tweedimensionale ruimte. Welke meetkundige figuren worden beschreven door:
2		We beschouwen een driedimensionale ruimte. Geef bij de volgende uitdrukkingen aan of ze getallen of vectoren voorstellen, dan wel geen betekenis hebben:
3		Bepaal een vergelijking voor het vlak met parametervoorstelling:
4		Bepaal een parametervoorstelling van het vlak V gegeven door:
5		Bepaal afstand en hoek tussen de vectoren v en w waarbij:
6		Bepaal de oppervlakte van de driehoek met als hoekpunten: Bepaal de inhoud van:
7		Gevraagd de poolcoördinaten-functie f zodat de grafiek een cirkel met straal 1 is.
8		>Gegeven de punten: V is het vlak door deze drie punten. Bepaal een parametervoorstelling van V. Bepaal een vergelijking voor V.
9		Gegeven de vectoren: Ga na of de volgende punten op het lijnsegment pq liggen: Laat zien dat de volgende punten op één lijn liggen.
10		Laat zien dat de volgende vier punten in hetzelfde vlak liggen:
11		Gegeven de vectoren: Gebruik het inwendig product om te laten zien dat:
12		Bepaal de projectie a_b van a op b en de projectie b_a van b op a in de volgende gevallen:
13		Gegeven de vector n: En deze twee punten: P₁ is het vlak door a en loodrecht op n en P₂ is het vlak door het punt b en evenwijdig aan P₁. Bepaal de vergelijking van het vlak P₁. Bereken de (loodrechte) afstand tussen de vlakken P₁ en P₂.
14		Gegeven de vectoren: De lijnen k en m hebben respectievelijk parametervoorstellingen: Laat zien dat de twee lijnen elkaar niet snijden. Bepaal parametervoorstellingen van twee onderling evenwijdige vlakken V en W, zo dat k V en m W. Bereken de (loodrechte) afstand tussen V en W (dat is de kortste afstand tussen k en m).
15		Twee vlakken zijn gegeven door de parametervoorstellingen: Laat zien dat V en W evenwijdig zijn. Bereken de afstand tussen V en W.
16		Bepaal een parametervoorstelling van de snijlijn van de vlakken met parametervoorstellingen:
17		Gegeven het vlak V met parametervoorstelling: En de vectoren: Bereken een normaalvector op V. Bereken de loodrechte afstand van V tot de oorsprong. Bepaal een (andere) parametervoorstelling van V, waarbij de steunvector en de beide richtingsvectoren alle drie onderling loodrecht zijn.
18		Bepaal alle vectoren u die een hoek van π/3 of 2π/3 maken met v door één vergelijking te geven in de componenten van u:
19		Gebruik de determinant om een waarde α te bepalen, zodat de drie vectoren (geïnterpreteerd als gerichte lijnstukken) in één vlak liggen.
20		Hoe kan men een punt op een boloppervlak (straal R) weergeven in cilindercoördinaten?
21		Bepaal ∂f/∂x en ∂f/∂y in de volgende gevallen:
22		Bepaal het raakvlak aan de grafiek van f in het punt A (0, 0, 1). Hierin is f de functie:
23		Bereken de volgende herhaalde integralen:
24		Bereken de volgende integraal: Doe dit met behulp van poolcoördinaten. Voor G geldt:
25		Bereken de volgende herhaalde integraal:
26		Bereken G (1, 1, 1) als:
27		De functie f is gegeven door: Geef de lineaire benadering van f in:
28		Bij een lens wordt het verband tussen voorwerpsafstand v en beeldafstand b gegeven door de formule: Hierin is f een bij de lens behorende constante (de brandpuntsafstand). Geef een lineaire benadering van de fout ∆f die men bij benadering maakt tengevolge van een meetfout ∆v in de voorwerpsafstand en een meetfout ∆b in de beeldafstand.
29		Verwissel de integratievolgorde:
30		Bereken de volgende dubbele integraal: Hierin is G het gebied dat wordt ingesloten door de kromme y = sin x en het interval [0, π] op de x-as.
31		Bereken de volgende dubbele integraal: Hierin is G:
32		Laat G het begrensde gebied zijn in het eerste kwadrant dat wordt ingesloten door: Bereken de volgende dubbele integraal:
33		Gegeven het scalarveld G(r) = \| r \| (waarin met r de plaatsvector (x, y, z) is bedoeld). Laat zien dat (voor alle r ≠ 0):
34		Gegeven het scalarveld G en het punt a: Bereken: Als: Wat is vanuit a de richting van de ‘grootste toename’ van G? In welke richting is:
35		Gegeven is het scalarveld: Bereken de richtingsafgeleide van G in a in de richting van a naar b, waarbij:
36		Bereken de volgende herhaalde integraal:
37		Bereken: Als gegeven is dat:
38		Bereken: Waarbij:
39		Bereken de volgende integralen. Maak eerst een schets van G en kies geschikte coördinaten. Waarbij: Waarbij:
40		G is het gebied dat wordt ingesloten door het omwentelingsoppervlak waarvan de afstand tot de z-as gegeven wordt door: Bereken de inhoud van G. Bereken: Bereken:
41		Gegeven G: Maak een schets van G. Teken een lijn door de oorsprong die een hoek θ met de positieve x-as maakt. Druk de afstand tot de oorsprong van het snijpunt van deze lijn met de parabool y² = 4 − 4x uit in θ. Bereken de volgende integraal door over te gaan op poolcoördinaten:
42		Gegeven D: Maak een schets van D. Schrijf de volgende integraal als herhaalde integraal:
43		Bereken het uitwendig product: Waarbij: Controleer of inderdaad w loodrecht op a staat en w loodrecht op b staat.
44		Bepaal de oppervlakte van de driehoek met als hoekpunten:
45		Gegeven is het scalarveld G door: Gegeven zijn ook de punten: N is het niveau-oppervlak van G door het punt a. Bepaal de volgende richtingsafgeleide waarbij v de richting van punt a naar punt b is: Bepaal een normaalvector in het punt a op het niveau-oppervlak N. Bepaal een parametervoorstelling van het raakvlak aan N in het punt a.
46		Teken de volgende krommen en beschrijf deze krommen meetkundig:
47		Gegeven de continu differentieerbare functie f. Zij K de grafiek van f. Ga na dat dit een parametrisering van K is: Bereken de booglengte van K.
48		Geef een parametrisering van een rechte cilinder met de z-as als cilinder-as, straal = a, hoogte = c en de onderkant in het x-y-vlak.
49		Gegeven het vlak V door de steunvector p en de richtingsvectoren u en v: Bepaal een parametrisering van V. Bepaal de eenheidsnormaal op alle punten van V.
50		Gegeven de functie f: Bepaal een parametervoorstelling van het raakvlak aan de grafiek van f in het punt:
51		Is dit waar:
52		Ga na van de volgende krommen waarom ze niet regulier zijn:
53		De (vlakke) kromme C is de grafiek van de functie: (ook wel bekend als kettinglijn) Geef een parametervoorstelling van C. Bereken de booglengte van C voor t van 0 naar x.
54		Een astroïde is een kromme met parametrisering: Waarbij a > 0 een constante is. Maak een tekening van een astroïde. Ga na in welke punten de astroïde niet regulier is. Bereken de booglengte voor het gedeelte waarvoor:
55		Involute van een cirkel. Er wordt een rol verbandgaas (met straal a) afgewikkeld. De rol kan niet draaien en het afgewikkelde deel wordt strak gehouden waardoor het uiteinde een spiraalvormige kromme beschrijft. De dikte van het verband is verwaarloosbaar, zodat a als constante mag worden beschouwd. Veronderstel tenslotte dat het verband niet ‘plakt’, dus dat het ideaal van de rol afwikkelt. Maak een parametervoorstelling r (θ) voor de kromme die door het uiteinde P wordt beschreven. Bereken de booglengtefunctie s (θ) van de kromme.
56		Gegeven de ruimtekromme C met parametrisering: Laat zien dat elk punt van de kromme op een kegel ligt waarvan de top zich in de oorsprong bevindt. Interpreteer t als de tijd, en bereken de grootte van de snelheid van een punt dat volgens r (t) langs de baan C beweegt. In welke richting verlaat de kromme de oorsprong (in t = 0)? Bepaal de lengte van C als functie van t (laat eventueel een integraal in het antwoord staan).
57		Gegeven de punten: T is de driehoek met a, b en c als hoekpunten. Met T wordt dus niet het gehele vlak door a, b en c bedoeld, maar uitsluitend het deel daarvan dat door de lijnstukken ab, bc en ca wordt begrensd. Bepaal een parametrisering van T. Bereken de oppervlakte van T door “het uitwendig product van de partiële afgeleiden te integreren”. Bereken de oppervlakte van T middels “het uitwendig product van de richtingsvectoren”.
58		Het oppervlak S is de grafiek van de functie f gegeven door: Waarbij: Geef een parametrisering van S. Bepaal in ieder punt van S de naar boven gerichte eenheidsnormaal n op S.
59		Gegeven de functie f (die G afbeeldt): Waarbij G een cirkelschijf met straal a > 0 en de oorsprong als middelpunt is. Maak een parametrisering van S. Bereken de oppervlakte van S.
60		Teken de grafieken van de in poolcoördinaten gegeven functies:
61		Onderzoek van de grafiek van een functie van twee variabelen. Schets de snijfiguren van de grafiek van de functie: Neem de snijfiguren met vlakken evenwijdig aan respectievelijk het y-z-vlak (dat wil zeggen x = constant), het x-z-vlak (dat wil zeggen y = constant) en het x-y-vlak (dat wil zeggen z = constant). Neem voor de constante steeds −1, 0 en 1.
62		Deel het in de figuur hieronder getekende normale gebied op in elementaire gebieden door ze in het plaatje te tekenen. Omschrijf deze elementaire gebieden met behulp van (on)gelijkheden.
63		Maak een tekening van de volgende tweedimensionale vectorvelden:
64		Schrijf de locale ‘polaire’ eenheidsvectoren e_r en e_θ in Cartesische coördinaten. Het antwoord moet uiteraard afhankelijk zijn van de plaats (r, θ) waar de locale coördinaten zijn getekend, dus van de vorm: En voor e_θ iets dergelijks:
65		Gegeven de kromme k met parametrisering: En het vectorveld: Bepaal de waarde van het veld op k als functie van t. Vul in: Bereken:
66		Het oppervlak S is de grafiek van de functie: Het vectorveld v is gegeven door: Geef een parametrisering van S. Bereken een naar boven gerichte normaal op S (hoeft niet genormeerd te worden). Bereken de volgende integraal, waarbij A is georiënteerd volgens de naar boven gerichte normaal:
67		Gegeven het vectorveld: Verder is gegeven een rechte cilinder met straal 1 en de z-as als as, inclusief de bodem op hoogte z = −1 en deksel op hoogte z = 1. Bereken ∙ v (in Cartesische coördinaten). Gebruik dit antwoord om ∙ v in cilindercoördinaten te schrijven. Bereken de volgende integraal met behulp van de stelling van Gauss:
68		Gegeven (in Cartesische coördinaten) het vectorveld: Bereken ∙ F. Bereken × F.
69		Bereken ∙ F, met F in bolcoördinaten gegeven als:
70		Bereken: Van de volgende vectorvelden:
71		Bereken: Van de volgende (in poolcoördinaten gegeven) vectorvelden:
72		De stroomlijnen of veldlijnen van een vectorveld zijn de banen die door een deeltje worden gevolgd als het snelheidsveld het gegeven vectorveld is. Dat betekent dus dat de vectoren in een vectorveld raken aan de veldlijnen. We bekijken nu het (tweedimensionale) vectorveld: Gebruik de tekening van het vectorveld om een paar veldlijnen te tekenen. Hoe zouden de vergelijkingen van de veldlijnen er uit kunnen zien? Laat een veldlijn een parametervoorstelling hebben van de vorm: Leg uit dat de coördinaatfuncties x (t) en y (t) van een veldlijn oplossingen zijn van de differentiaalvergelijkingen: Vind een parametervoorstelling en de vergelijking van de veldlijn door het punt (1, 1).
73		Gegeven het vectorveld: Maak een tekening van het veld en enkele veldlijnen daarin. Bepaal de parametervoorstelling van de veldlijn door het punt (x₀, y₀).
74		Veldlijnen van een in poolcoördinaten gegeven vectorveld. Bekijk het vectorveld: Noem de parametervoorstelling van een veldlijn: Laat zien dat de coördinaatfuncties van een veldlijn oplossingen zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen: Bepaal de parametervoorstelling (in poolcoördinaten) van de veldlijn door het punt (1, 0) van het vectorveld: Bepaal voor de gevonden veldlijn r als functie van θ, zodat de veldlijn getekend kan worden.
75		Gegeven het scalarveld (in Cartesische coördinaten): Maak een tekening van het gradiëntveld G van G.
76		Gegeven het vectorveld: Bereken: Waarbij de kromme k het beginpunt (0, 0, 0) en eindpunt (1, 1, 1) heeft. Hierbij wordt k gegeven door: Het lijnstuk rechtstreeks vanaf (0, 0, 0) naar (1, 1, 1). De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (0, 1, 0) en (0, 1, 1) naar (1, 1, 1). De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (1, 0, 0) en (1, 1, 0) naar (1, 1, 1). De kromme met parametrisering: De kromme met parametrisering:
77		Gegeven het scalarveld: Bereken: Waarbij de kromme k het beginpunt (0, 0, 0) en eindpunt (1, 1, 1) heeft. Voor het vectorveld geldt: Hierbij wordt k gegeven door: Het lijnstuk rechtstreeks vanaf (0, 0, 0) naar (1, 1, 1). De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (0, 1, 0) en (0, 1, 1) naar (1, 1, 1). De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (1, 0, 0) en (1, 1, 0) naar (1, 1, 1). De kromme met parametrisering: De kromme met parametrisering:
78		Onderzoek van de volgende vectorvelden of ze conservatief zijn door na te gaan of er een potentiaalfunctie is:
79		Bereken de volgende integraal: Waarbij T de driehoek is met hoekpunten: Deze driehoek heeft een naar boven gerichte eenheidsnormaal en het vectorveld v is:
80		Bereken de volgende integraal: Als het vectorveld is: En S is het oppervlak met de vergelijking: Met (x, y) binnen de eenheidscirkel met de oorsprong als middelpunt. S is georiënteerd volgens de naar buiten/beneden gerichte normaal.
81		Gegeven het vectorveld: Bereken de naar buiten gerichte flux van v door de wand van de rechte cilinder met straal 1 en de z-as als as, inclusief de bodem op hoogte z = −1 en deksel op hoogte z = 1. Rechtstreeks, dat wil zeggen door drie afzonderlijke flux-integralen te berekenen. Met de stelling van Gauss.
82		Gegeven het vectorveld: Het oppervlak S is de wand (mantel en bodem) van een omgekeerde kegel met de top in de oorsprong waarvan de bodem een cirkelschijf met straal 4 is op hoogte z = 4. Bereken de naar buiten gerichte flux van v door S.
83		Maak recepten voor het oplossen van de volgende typen vraagstukken: Gevraagd: Waarbij H gegeven is als H = { ... }. Teken een willekeurig gebied H en ga na wat u van H moet weten om een herhaalde integraal op te stellen; hoe kiest u de integratievolgorde? Verwissel de integratievolgorde van: Teken de grafieken van twee willekeurige functies φ₁ (x) en φ₂ (x), met x ϵ [a, b]; in welke gevallen moet het gebied worden gesplitst om de integratievolgorde te kunnen verwisselen?
84		S is het oppervlak van de eenheidsbol met straal 1 en de oorsprong als middelpunt. Het vectorveld w is gegeven door: Bereken: Rechtstreeks. Met behulp van de stelling van Gauss.
85		Bereken: Waarbij het vectorveld F gegeven is door: S is het oppervlak van het gebied G dat begrensd wordt door de parabolische cilinder: En verder wordt G begrensd door de vlakken:
86		Gegeven is het vectorveld (in Cartesische coördinaten): De kromme c is de driehoek met hoekpunten e_x, e_y en e_z, georiënteerd volgens de wijzers van de klok als men c vanuit het punt (1, 1, 1) bekijkt. Bereken: Rechtstreeks. Met de stelling van Stokes.
87		Het oppervlak S is het deel van het boloppervlak waarvoor geldt: S is georiënteerd volgens de naar de oorsprong gerichte normaal. Bereken: Als: Alle velden zijn in Cartesische coördinaten gegeven.
88		Het oppervlak S wordt gegeven door: De normaal van S is naar boven gericht. Het vectorveld F wordt gegeven door: Bereken: Rechtstreeks. Door eerst de flux door een cirkelschijf in het x-y-vlak te berekenen en dan gebruik te maken van de stelling van Gauss. Uit het hoofd.
89		Bereken met behulp van de stelling van Stokes: Het vectorveld F wordt gegeven door: De kromme c is de snijkromme van de cilinder C en het vlak V:
90		S is het oppervlak van een halve bol (z ≥ 0) met straal a. Geef een parametrisering van S: In Cartesische coördinaten. In bolcoördinaten. In cilindercoördinaten.
91		Door een bol met straal a is een cilindervormig gat geboord met straal b (b < a) waardoor een ringvormig object ontstaat. Bereken de inhoud van de ring. Bereken de oppervlakte van het overgebleven deel van het boloppervlak.
92		S is het oppervlak (alleen de mantel) van een kegel met de ‘top’ in de oorsprong. De rand van het oppervlak is een horizontale cirkel op hoogte z = 3, middelpunt op de z-as en straal √3. Geef een parametrisering van S in Cartesische coördinaten, waarbij u als parameters moet gebruiken: De afstand tot de oorsprong en de hoek met de positieve x-as (zoals bij bolcoördinaten). De afstand tot de z-as en de hoek met de positieve x-as (zoals bij cilindercoördinaten). De x- en de y-coördinaat. Geef een parametrisering van S in bolcoördinaten. Geef een parametrisering van S in cilindercoördinaten.
93		Gegeven de functie: Deze functie is gedefinieerd op de kwart cirkelschijf: Het oppervlak S is de grafiek van f. Tenslotte definiëren we het vectorveld v: Maak een parametrisering van S. Bereken de oppervlakte van S. Bereken de flux-integraal: De oriëntatie van S is naar boven gericht.
94		Gegeven het vectorveld: Ga na voor welke waarden van a en b het vectorveld conservatief is. Bepaal voor de gevonden waarden een scalaire potentiaalfunctie U (x, y, z). Bereken: Hierin is k de kromme met parametrisering: Kan deze integraal ook worden berekend zonder gebruik te maken van de potentiaalfunctie?
95		Gegeven het vectorveld: En het rechthoekige blok B: Het oppervlak van B geven we aan met ∂B en S_o is het ondervlak van B met naar beneden wijzende normaal. Bereken: Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Stokes. Zonder berekening kan de volgende integraal worden bepaald: Doe dat en motiveer het antwoord. Bereken: Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Gauss.
96		Hoe bepaal je de covariante - en contravariante componenten van een vector?
97		Laat op verschillende manieren zien dat het inwendig product invariant is.
98		Gegeven deze situatie. Bereken van alle vectoren de covariante componenten, de contravariante componenten, het inwendig product en de norm in zowel het groene - als het rode stelsel. De componenten van de vectoren in het groene stelsel zijn e_x = (1, 0), e_y = (0, 1), e’_x = (1, 0.5), e’_y = (0.25, 1) en v = (0.5, 0.5).