Wanneer je wiskundig bezig bent dan loop je vroeg of laat (waarschijnlijk eerder vroeg dan laat) tegen het probleem aan dat je niet de wortel kunt trekken uit een negatief getal: Gelukkig zijn wiskundigen niet voor één gat te vangen en daarom is de imaginaire eenheid i in het leven geroepen waarvoor geldt: Hieruit volgt: Of in woorden, wanneer is een getal imaginair:

• een getal, waarvan het kwadraat een negatief getal is, heet imaginair.

Dit nodigt natuurlijk direct uit tot de tegenovergestelde zin:

• een getal, waarvan het kwadraat een positief getal is, heet reëel.

Waaruit vervolgens de combinatie van beide volgt:

• een getal, bestaande uit een reëel deel en een imaginair deel, heet complex.

Een imaginair getal is dus altijd van de vorm (i is de imaginaire eenheid en y is een reëel getal): En een complex getal is altijd van de vorm (x is een reëel getal): Complexe getallen geven we doorgaans aan met de letter z: Twee complexe getallen, z₁ = a + ib en z₂ = c + id, kun je bij elkaar optellen: Twee complexe getallen kun je van elkaar aftrekken: Twee complexe getallen kun je met elkaar vermenigvuldigen: En twee complexe getallen kun je ook op elkaar delen: Machtsverheffen en worteltrekken kunnen ook, maar dan is het handiger om eerst het volgende te behandelen. Complexe getallen kun je weergeven in het complexe vlak. Aan het complexe getal z kan ik ook poolcoördinaten toekennen. Er geldt dan: Oftewel: Hierin is r de absolute waarde van het complexe getal en φ is het argument van het complexe getal.

Ik zoek de cosinus op in de tabel met Taylor-reeksen:

En ik zoek ook de sinus op in de tabel met Taylor-reeksen: Deze beide reeksen vul ik in in vergelijking (12), ik schrijf een aantal termen uit, en ik knutsel nog wat verder: Vervolgens zoek ik de e-macht op in de tabel met Taylor-reeksen: Dit komt perfect overeen met de reeks van vergelijking (15), dus ik kan ook schrijven: Met de belangrijke kanttekening dat je eigenlijk moet schrijven: Dit komt omdat de cosinus en de sinus zich na iedere 2π herhalen. Belangrijk om je dat te realiseren, maar doorgaans laat men de term 2πk voor het gemak weg.

Hetgeen ons brengt bij de formules van Euler:

Nu keer ik weer terug naar het machtsverheffen en worteltrekken, want dat is in poolcoördinaten heel simpel: Even een rekenvoorbeeld, stel ik heb het volgende complexe getal: In poolcoördinaten is dat: Vervolgens neem ik de vijfde wortel van z: In het complexe vlak ziet dat er zo uit. Merk op dat de wortels van een complex getal altijd equidistant op een cirkel liggen, in dit geval vormen ze een pentagram. Wanneer ik de n-de wortel trek uit een getal dan moeten er ook n wortels uitkomen. Ik zal dat nogmaals illustreren aan de hand van het getal één. Om te beginnen de tweede wortel, de vierkantswortel: De derde wortel: De vierde wortel: De vijfde wortel: En tot slot de zesde wortel: Merk ook op dat vermenigvuldigen met i overeenkomt met een rotatie (in het complexe vlak) over 90 graden (positief, dus linksom, tegen de wijzers van de klok in): Door van een complex getal het imaginaire deel van teken te laten wisselen ontstaat de complex toegevoegde of de complex geconjugeerde. Dit geven we aan met een streepje boven het complexe getal of met een sterretje (ik kies voor het sterretje). De som van twee complex geconjugeerden is altijd reëel: Het verschil van twee complex geconjugeerden is altijd imaginair: Het product van twee complex geconjugeerden is een hele belangrijke, die is altijd reëel: Het quotiënt van twee complex geconjugeerden is altijd een complex getal:

Stel je transponeert een matrix (rijen en kolommen verwisselen) en vervolgens neem je van alle elementen de complex geconjugeerde. Indien dan de oorspronkelijke matrix weer ontstaat dan heb je een Hermitische matrix (en dat geven we aan met een dolkje):

De volgorde van transponeren en conjugeren is niet relevant: Bij een Hermitische matrix zijn alle elementen op de hoofddiagonaal reëel, want alleen reële getallen zijn hun eigen complex geconjugeerde.

Alle getallen in het complexe vlak kan ik ook als vectoren beschouwen: In een plaatje ziet dat er zo uit. Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit.

Door de complex geconjugeerde te nemen van dit vectorveld ontstaat het Pólya-vectorveld:

In een plaatje ziet dat er zo uit. Ook in dit geval maak ik voor de duidelijkheid de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren.

Het was Hamilton die in 1843 de wiskunde verrijkte met quaternionen, dit zijn complexe getallen met een driedimensionaal imaginair deel. We hadden reeds:

Hamilton voegde hier aan toe: Echter, je kunt vervolgens niet zeggen z = a + bi +cj + dk en klaar is Kees, want zo simpel is het niet. In een helder moment vond Hamilton het ontbrekende puzzelstukje: Quaternionen hebben hun weg gevonden in vele wiskundige - en natuurkundige toepassingen, net zoals de ‘gewone’ complexe getallen daarvoor al deden.