Mijn vertrekpunt voor deze afleiding is de Schwarzschild-oplossing:

Door links en rechts de wortel te nemen krijg ik een uitdrukking voor het interval ds: Het interval geeft de afstand aan tussen twee gebeurtenissen, of wat wiskundiger gezegd hoe iets van het ene punt in de vierdimensionale ruimtetijd naar het volgende punt gaat. Indien dat geodetisch gebeurt dan laat dat ‘iets’ zich meevoeren door de kromming van de ruimtetijd zoals de metrische tensor dat beschrijft: Het totale geodetische pad dat afgelegd wordt van punt A naar punt B is de som van alle stukjes ds die onderweg afgelegd worden: En hier mogen geen afwijkingen op zijn (die moeten nul zijn), want anders is het traject niet meer geodetisch. Dus we gaan een stukje variatiewiskunde doen en ik eis (waarbij ik direct gebruik maak van vergelijking (4)): Dit combineer ik met vergelijking (3): Vervolgens vul ik de Schwarzschild-oplossing in, want die beschrijft (in dit geval) de metrische tensor:

Om hiermee verder te komen ga ik gebruik maken van de Euler-Lagrange-vergelijking:

Hierin komt x overeen met onze parameter s, f is de functie binnen de wortel van vergelijking (7) (dat is heel prettig), en y_n is respectievelijk t, r, φ en θ. Ik ga de Euler-Lagrange-vergelijking inzetten voor t en φ: Ik stel: Waaruit volgt: Dus de puntmassa bevindt zich in de oorsprong en ik ga ervanuit dat de geodetische lijn zich ter hoogte van de evenaar om die puntmassa bevindt. Die evenaar mag ik uiteraard vrij kiezen (want er is bolsymmetrie), dus deze aanname is legitiem. Vergelijking (1) wordt dan: En vergelijking (9b) wordt: Vergelijking (13) ga ik aan beide zijden integreren naar s:

Waarin J een constante is. In vergelijking (14) herkennen we uiteraard (toch?) de relativistische variant van de tweede wet van Kepler (de perkenwet). Perken krijgen uiteraard een hele andere betekenis in een gekromde ruimte, maar de geldigheid van de perkenwet blijft overeind. Die ga ik iets anders opschrijven:

Vervolgens pak ik vergelijking (9a) en die ga ik ook aan beide zijden integreren naar s: Waarin K een constante is. Dit ga ik iets anders opschrijven: Door de vergelijkingen (15) en (17) op elkaar te delen krijg ik: Nu komt er een hele belangrijke meevaller, want voor een lichtstraal is het interval ds altijd gelijk aan nul. Vergelijking (12) versimpelt hiermee tot: Vervolgens deel ik door dt²: Hier vul ik vergelijking (18) in: Ik breng de Schwarzschild-straal even in herinnering, de horizon van een zwart gat: Hiermee worden de vergelijkingen (18) en (21): En ik introduceer twee constanten: E en P: Waarmee vergelijking (24) tenslotte wordt: Het plusminteken is verschenen doordat ik in de laatste stap de wortel heb genomen. Indien de beweging van de oorsprong vandaan is dan is dr positief en dient het plusteken gebruikt te worden, en gaat de beweging richting de oorsprong dan is dr negatief en is het minteken van toepassing. Ik stel: Hiermee worden de vergelijkingen (23) en (26): Nu ga ik vergelijking (28) invullen in (29): Dit kan ik ook schrijven als integraal: Tot slot ga ik vergelijking (30) links en rechts differentiëren naar φ: Ik deel door du/dφ en ik reorganiseer vervolgens de termen: Aldus heb ik op drie verschillende manieren het gedrag van de lichtstraal beschreven, tweemaal als differentiaalvergelijking en eenmaal als integraal: