Deze integraal ga ik oplossen als contourintegraal. Zoals gebruikelijk begin ik door mijn probleem over te hevelen naar het complexe vlak en dat doe ik door simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z: Ik ga een plaatje maken van f (z) en daarom ga ik de functie eerst anders opschrijven: Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit. Ik zoek de functie op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat de functie overal holomorf is (elders op het internet wordt hier altijd blind van uitgegaan, maar dat moet toch echt wel even gecheckt worden), behalve voor z = p₁, z = p₂, z = p₃ en z = p₄ (de vier polen, daar waar de noemer van de functie nul wordt): Er zijn dus vier polen en die teken ik erbij in de grafiek. Voor a = 1 bevinden de polen zich op +i (twee stuks) en −i (twee stuks). De polen liggen dus paarsgewijs op elkaar. Vervolgens ga ik een contour aanleggen en een onderdeel daarvan moet zijn van x = −∞ tot x = +∞, want dat is immers de probleemstelling waar ik mee begon. Nu moet ik het contour nog wel sluiten (want om redenen die weldra duidelijk worden wil ik graag een gesloten contour) en dat doe ik met een halve cirkel die de beide uiteinden van het contour van x = +∞ tot x = −∞ met elkaar verbindt. De contourintegraal is de som van de integralen over alle deelcontouren:

Volgens de Cauchy-residustelling geldt:

Waarbij voor het residu geldt (let op: er liggen weliswaar twee polen binnen het contour, maar omdat die samenvallen is er maar één niet-holomorf punt en dus ook maar één residu!): Hiermee wordt het linkerlid van de contourintegraal: De eerste term van het rechterlid is mijn oorspronkelijke probleem (want voor dat deel van het contour is het imaginaire deel nul en geldt dus dat z = x): Dan rest mij nog om de laatste term aan te pakken: Omdat z over het hele contour γ₂ oneindig is mag ik schrijven: Voor z kan ik schrijven (met r een oneindige constante, en φ varieert van 0 tot π): Hiermee wordt de vorige vergelijking: De bijdrage aan de integraal van het contour γ₂ is dus nul.

Ik vond voor de vier polen: Het is even belangrijk om het volgende te onthouden, want daar ga ik zometeen gebruik van maken: De polen p₁ en p₃ worden omsloten door het contour en daarom ga ik die om de beurt buiten de functie brengen: Ik heb twee dezelfde antwoorden en dat is logisch, want de polen p₁ en p₃ vallen immers samen. Zoals ik net al zei: er is maar één niet-holomorf punt en dus ook maar één residu.

Omdat er twee samenvallende polen zijn ontstaat er wel een probleem, omdat ik voor het bepalen van het residu naar het punt z = p₁ (of z = p₃) toe wil en dan word ik geconfronteerd met een noemer die nul wordt. Daarom ga ik gebruik maken van de regel van De l’Hôpital:

Op deze manier kan ik het residu bepalen: Nu komt de regel van De l’Hôpital in actie: Hetgeen mij bij het eindantwoord brengt: In het functievoorschrift is te zien dat het niet uitmaakt of a positief of negatief is, maar in het antwoord dat ik zojuist gevonden heb is dat niet het geval. Omdat de functie overal boven de x-as ligt (zie de grafiek) is het antwoord altijd positief en moet ik dus de absolute waarde nemen: