Deze integraal ga ik oplossen als contourintegraal. Zoals gebruikelijk begin ik door mijn probleem over te hevelen naar het complexe vlak en dat doe ik door simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z: Ik ga een plaatje maken van f (z) en daarom ga ik de functie eerst anders opschrijven (waarbij ik gebruik maak van de som-/verschilformules uit de goniometrie): Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit. Ik zoek de functie f (z) = cos z op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat de functie overal holomorf is. Ik vind ook in de holomorfietabel van complexe functies dat het product van twee holomorfe functies ook holomorf is, dus f (z) = cos² z is holomorf. Verder leert de holomorfietabel van complexe functies mij dat het product van een holomorfe functie met een constante ook holomorf is, dus f (z) = a cos² z is holomorf. En verder leert de holomorfietabel van complexe functies mij dat de som van een holomorfe functie met een constante ook holomorf is, dus f (z) = (1 + a cos² z) is holomorf. Tenslotte leert de holomorfietabel van complexe functies mij dat de reciproke van een holomorfe functie ook holomorf. Oftewel, f (z) = 1/(1 + a cos² z) is een holomorfe functie (elders op het internet wordt hier altijd blind van uitgegaan, maar dat moet toch echt wel even gecheckt worden).

Hier hoort wel een kanttekening bij, want daar waar de noemer gelijk aan nul is ontstaan er polen, en in die punten is de functie dan niet gedefinieerd en daarom ook niet holomorf. Ik dien dus op zoek te gaan naar polen, maar daar wacht ik even mee want ik ga geen contour aanleggen omdat ik kies voor directe parametrisatie.

Volgens de formules van Euler geldt:

Door deze beide vergelijkingen bij elkaar op te tellen krijg ik: En voor φ mag ik uiteraard ook z schrijven: Nu ga ik een parameter t introduceren, ik stel: Ik neem links en rechts de differentiaal: Met al deze ingrediënten wordt de integraal: Nu ga ik de polen bepalen (met behulp van de abc-formule): Er zijn dus vier polen en die teken ik erbij in de grafiek. Voor a = 2 bevinden de polen zich op +1.932i, +0.518i, −0.518i en −1.932i. En waar ligt nu het contour? De grenzen van de integraal lopen van z = 0 tot z = 2π, ook dat geef ik aan in de grafiek. Voor t geldt: Omdat z over het hele bereik van 0 tot 2π reëel is (y = 0) vereenvoudigt dit tot: t doorloopt dus een eenheidscirkel in het complexe vlak. Dát is het gesloten contour waarover we integreren en ook dat geef ik aan in de grafiek. Zo verloopt t als functie van z:

z	t
0	1
1/4 π	0.707 + 0.707 i
1/2 π	i
3/4 π	−0.707 + 0.707 i
π	−1
5/4 π	−0.707 − 0.707 i
3/2 π	−i
7/4 π	0.707 − 0.707 i
2π	1

Zoals blijkt uit de tabel wordt het contour linksom doorlopen zoals ik ook heb aangegeven in de grafiek. Aldus wordt de contourintegraal:

Volgens de Cauchy-residustelling geldt:

Waarbij voor ieder residu geldt: Hiermee wordt het rechterlid van de contourintegraal (waarbij de laatste grafiek laat zien dat er twee polen worden omsloten door het contour): Laat ik de polen even nummeren: Het is even belangrijk om het volgende te onthouden, want daar ga ik zometeen gebruik van maken: De polen p₁ en p₂ worden omsloten door het contour en daarom ga ik die om de beurt buiten de functie brengen: Waaruit volgt: Hetgeen mij bij het eindantwoord brengt: