Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

Goniometrie in het platte vlak

Beschouw de volgende driehoek:

De zijde b noemt men de aanliggende zijde (gezien vanuit de hoek α) en de zijde a noemt men de overstaande zijde (gezien vanuit de hoek α). Vanuit de hoek β gezien is dit precies andersom. De zijde c noemt men de schuine zijde of hypotenusa.

De definitie van sinus (sin) is overstaande zijde/schuine zijde:

De definitie van cosinus (cos) is aanliggende zijde/schuine zijde:

De definitie van tangens (tan) is overstaande zijde/aanliggende zijde:

De reciproke versies van dit drietal worden gevormd door cosecans (csc), secans (sec) en cotangens (cot):

Oftewel:

Merk op dat:

Als gevolg van het voorgaande kennen we de goniometrische functies:

Van de bovenstaande zes functies kan x variëren van 0 tot 360 graden hetgeen overeenkomt met 0 tot 2π radialen en dat levert dan de volgende grafieken op:

De grafiek van f (x) = sin (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = cos (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = tan (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = csc (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = sec (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = cot (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De inverse functies hiervan zijn de zes cyclometrische functies boogsinus, boogcosinus, boogtangens, boogcosecans, boogsecans en boogcotangens [Engels: arc = boog]:

En daar zijn uiteraard ook grafieken van te maken:

De grafiek van f (x) = arcsin (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = arccos (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = arctan (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = arccsc (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = arcsec (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = arccot (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

Stel ik heb een driehoek met zijden a, b en c en één hoek van 90 graden, zie onderstaande figuur:

Pythagoras

Indien ik de drie zijden van deze driehoek ‘uitvouw’ tot vierkanten dan blijkt dat de oppervlakte van het gele vierkant exact gelijk is aan de oppervlakte van het groene vierkant en de oppervlakte van het rode vierkant samen. Dit kennen we als de stelling van Pythagoras (niet dat hij het ontdekt heeft, maar hij is min of meer toevallig de geschiedenisboekjes ingegaan als eerste-opschrijver, zo zie je maar dat je lang niet altijd iets hoeft te ontdekken om de geschiedenis in te gaan):