Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = 1/(ax^3 + bx^2 + cx + d)^1/2

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

De integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 voor a = 4, b = −16, c = 13, d = −3 (de rode lijn),
a = 3, b = −15, c = 21, d = −9 (de groene lijn) en a = 2, b = −16, c = 40, d = −32 (de blauwe lijn)

Gegeven is dat a > 0, dus die derdegraads vergelijking in de noemer ‘begint’ ergens linksonder (in het derde kwadrant) en ‘eindigt’ ergens rechtsboven (in het eerste kwadrant).

Grafiek

a < 0

Grafiek

a > 0

Verder is gegeven dat de discriminant D nul is, dus er zijn twee nulpunten.

Grafiek

D < 0

Grafiek

D = 0

Grafiek

D > 0

Voor de duidelijkheid maak ik een grafiek van alleen de derdegraads vergelijking.

Grafiek

De grafiek van f (x) = ax³ + bx² + cx + d voor a = 4, b = −16, c = 13, d = −3 (de rode lijn),
a = 3, b = −15, c = 21, d = −9 (de groene lijn) en a = 2, b = −16, c = 40, d = −32 (de blauwe lijn)

Ik zal ook nog even verticaal inzoomen in de buurt van de horizontale as.

Grafiek

De grafiek van f (x) = ax³ + bx² + cx + d voor a = 4, b = −16, c = 13, d = −3 (de rode lijn),
a = 3, b = −15, c = 21, d = −9 (de groene lijn) en a = 2, b = −16, c = 40, d = −32 (de blauwe lijn)

Om te beginnen ga ik die derdegraads vergelijking normaliseren:

Vergelijking

Ik stel:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Hiermee wordt de functie:

Vergelijking

Ik haal er even een hulpvariabele bij:

Vergelijking

De discriminant is nul, dus er zijn twee nulpunten. Of preciezer gezegd: twee nulpunten vallen samen en vormen een raakpunt. Die kan ik als volgt berekenen (x₁ is het snijpunt, x₂ is het raakpunt):

Vergelijking

Vergelijking

Het verschil van x₂ en x₁ is:

Vergelijking

Omdat q'' negatief is, is het verschil van x₂ en x₁ ook negatief. Het raakpunt x₂ ligt dus links van het snijpunt x₁. De integraal wordt dan:

Vergelijking

Nu ga ik het hele boeltje verschuiven zodat het raakpunt in de oorsprong komt te liggen. Ik stel:

Vergelijking

Hiermee wordt de integraal:

Vergelijking

De oplossing van de integraal van 1/(x (ax − b)^1/2) kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:

Vergelijking

Nu moet u uiteraard weer vervangen worden door x:

Vergelijking

Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van F (x) voor a = 4, b = −16, c = 13, d = −3 (de rode lijn),
a = 3, b = −15, c = 21, d = −9 (de groene lijn)
en a = 2, b = −16, c = 40, d = −32 (de blauwe lijn), C = 0

Miniatuur

Naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Miniatuur

Naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Miniatuur

Tabel met integralen

Miniatuur

Tabel met afgeleiden

Miniatuur

Tabel met Taylor-reeksen

Miniatuur

Differentiëren

Miniatuur

Miniatuur

Derdegraads vergelijking oplossen

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(x (ax − b)^1/2)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(x (ax − b)^1/2)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = cos x/(1 − a² cos² x)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = cos⁸ (ax)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

Miniatuur

De integralen van
f (x) = xⁿ ln (a + x)

Miniatuur

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 33

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 78

Miniatuur

Onafhankelijke componenten in de Riemann-tensor

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(a − x)

Miniatuur

De Taylor-reeksen van
f (x) = e^±ax

Miniatuur

De stelling van Green

Miniatuur

De gammafunctie

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = sin z

Miniatuur

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026