Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = x^b/(a^2 + x^2)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = x^b/(a² + x²)

De grafiek van f (x) = x^b/(a² + x²) voor b = 0.1 (de rode lijn),
b = 0.5 (de groene lijn) en b = 0.9 (de blauwe lijn), a = 1

Deze integraal ga ik oplossen als contourintegraal. Zoals gebruikelijk begin ik door mijn probleem over te hevelen naar het complexe vlak en dat doe ik door simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z:

Ik ga een plaatje maken van f (z) en daarom ga ik de functie eerst anders opschrijven. Bedenk daarbij dat ik een complex getal op twee manieren kan opschrijven:

De functie wordt dan:

De grafiek van f (z) = z^b/(a² + z²) voor a = 1, b = 0.1

Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit.

De grafiek van f (z) = z^b/(a² + z²) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 0.1

Ik zoek de functie die in de teller staat, T (z) = z^b, op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat de functie overal holomorf is, behalve in de oorsprong voor b < 0. Ik zoek ook de functie in de noemer, N (z) = a² + z², op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat de functie overal holomorf is. De holomorfietabel van complexe functies leert mij ook dat het quotiënt van twee holomorfe functies een holomorfe functie is, behalve voor z = p₁ en z = p₂ (de beide polen, daar waar de noemer van de functie nul wordt):

Er zijn dus twee polen en die teken ik erbij in de grafiek. Voor a = 1 bevinden de polen zich op +i en −i.

De grafiek van f (z) = z^b/(a² + z²) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 0.1
en de beide polen (de blauwe stippen)

Vervolgens ga ik een contour aanleggen en een onderdeel daarvan moet zijn van x = −∞ tot x = +∞, want dat is immers de probleemstelling waar ik mee begon.

De grafiek van f (z) = z^b/(a² + z²) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 0.1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het contour van x = −∞ tot x = +∞ (de rode lijn)

Nu moet ik het contour nog wel sluiten (want om redenen die weldra duidelijk worden wil ik graag een gesloten contour) en dat doe ik met een halve cirkel die de beide uiteinden van het contour van x = +∞ tot x = −∞ met elkaar verbindt.

De grafiek van f (z) = z^b/(a² + z²) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 0.1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het gesloten contour (de rode lijn)

De contourintegraal is de som van de integralen over alle deelcontouren:

Cauchy

Volgens de Cauchy-residustelling geldt:

Waarbij voor het residu geldt:

Hiermee wordt het linkerlid van de contourintegraal:

De eerste term van het rechterlid is mijn oorspronkelijke probleem (want voor dat deel van het contour is het imaginaire deel nul en geldt dus dat z = x):

Dan rest mij nog om de laatste term aan te pakken:

Omdat z over het hele contour γ₂ oneindig is mag ik schrijven:

Voor z kan ik schrijven (met r een oneindige constante, en φ varieert van 0 tot π):

Hiermee wordt de vorige vergelijking:

De bijdrage aan de integraal van het contour γ₂ is dus nul.

Ik vond voor de beide polen:

De pool p₁ wordt omsloten door het contour en daarom ga ik die pool buiten de functie brengen:

Waaruit volgt:

Hetgeen mij bij het eindantwoord brengt:

In het functievoorschrift is te zien dat het niet uitmaakt of a positief of negatief is, maar in het antwoord dat ik zojuist gevonden heb is dat niet het geval. Stel dat a negatief is, dan wordt de pool p₂ omsloten door het contour (in plaats van p₁) en dan moet ik de pool p₂ buiten de functie brengen: