Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De contourintegraal van<br>f (x) = 1/(a^2 + x^2)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Trefwoorden/keywords: contourintegraal/contourintegral, integreren/integrate, f (x) = 1/(a² + x²)

De grafiek van f (x) = 1/(a² + x²) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

Deze integraal ga ik oplossen als contourintegraal. Zoals gebruikelijk begin ik door mijn probleem over te hevelen naar het complexe vlak en dat doe ik door simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z:

Ik ga een plaatje maken van f (z) en daarom ga ik de functie eerst anders opschrijven:

De grafiek van f (z) = 1/(a² + z²) voor a = 1

Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit.

De grafiek van f (z) = 1/(a² + z²) (genormaliseerd) voor a = 1

Ik zoek de functie op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat de functie overal holomorf is (elders op het internet wordt hier altijd blind van uitgegaan, maar dat moet toch echt wel even gecheckt worden), behalve voor z = p₁ en z = p₂ (de beide polen, daar waar de noemer van de functie nul wordt):

Er zijn dus twee polen en die teken ik erbij in de grafiek. Voor a = 1 bevinden de polen zich op +i en −i.

De grafiek van f (z) = 1/(a² + z²) (genormaliseerd) voor a = 1
en de beide polen (de blauwe stippen)

Vervolgens ga ik een contour aanleggen en een onderdeel daarvan moet zijn van x = −∞ tot x = +∞, want dat is immers de probleemstelling waar ik mee begon.

De grafiek van f (z) = 1/(a² + z²) (genormaliseerd) voor a = 1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het contour van x = −∞ tot x = +∞ (de rode lijn)

Nu moet ik het contour nog wel sluiten (want om redenen die weldra duidelijk worden wil ik graag een gesloten contour) en dat doe ik met een halve cirkel die de beide uiteinden van het contour van x = +∞ tot x = −∞ met elkaar verbindt.

De grafiek van f (z) = 1/(a² + z²) (genormaliseerd) voor a = 1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het gesloten contour (de rode lijn)

De contourintegraal is de som van de integralen over alle deelcontouren:

Cauchy

Volgens de Cauchy-residustelling geldt:

Waarbij voor het residu geldt:

Hiermee wordt het linkerlid van de contourintegraal:

De eerste term van het rechterlid is mijn oorspronkelijke probleem (want voor dat deel van het contour is het imaginaire deel nul en geldt dus dat z = x):

Dan rest mij nog om de laatste term aan te pakken:

Omdat z over het hele contour γ₂ oneindig is mag ik schrijven:

Voor z kan ik schrijven (met r een oneindige constante, en φ varieert van 0 tot π):

Hiermee wordt de vorige vergelijking:

De bijdrage aan de integraal van het contour γ₂ is dus nul.

Ik vond voor de beide polen:

De pool p₁ wordt omsloten door het contour en daarom ga ik die pool buiten de functie brengen:

Waaruit volgt:

Hetgeen mij bij het eindantwoord brengt:

In het functievoorschrift is te zien dat het niet uitmaakt of a positief of negatief is, maar in het antwoord dat ik zojuist gevonden heb is dat niet het geval. Omdat de functie overal boven de x-as ligt (zie de grafiek) is het antwoord altijd positief en moet ik dus de absolute waarde nemen:

De contourintegraal vanf (x) = 1/(a2 + x2)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)