Ik ga onderzoeken of een complexe functie f (z) differentieerbaar is, want een functie die niet differentieerbaar is daar hebben we weinig aan. Ik ga daarom de complexe functie f (z) differentiëren naar z, waarbij ik het reële deel van de functie u noem en het imaginaire deel v (en u en v zijn op hun beurt weer functies van x en y): De afgeleide ziet er dan zo uit: Omdat u en v functies van x en y zijn kan ik die partieel differentiëren naar x en y: Normaliter heb ik in de noemer slechts één differentiaal staan, meestal dx, maar nu staan er twee, dx en dy, en dat stelt mij voor een probleem, want in bovenstaande afgeleide kunnen dx en dy onafhankelijk van elkaar veranderen. Echter, indien we de afgeleide op zijn beurt dáár weer onafhankelijk van zouden kunnen maken dan zijn we uit de problemen. Ik kan dat bereiken door te eisen dat het deel in de teller tussen het eerste paar haakjes gelijk is aan het deel in de teller tussen het tweede paar haakjes, en die noem ik even β: De complexe afgeleide, vergelijking (3), wordt aldus: En zo ontstaat de afgeleide. De voorwaarde hiervoor is vergelijking (4):

De reële termen moeten hierin aan elkaar gelijk zijn en de imaginaire termen moeten aan elkaar gelijk zijn, en zo komen we bij de Cauchy-Riemann-vergelijkingen:

Om redenen die weldra duidelijk worden neem ik in plaats van de functie f de complex geconjugeerde van f, dat levert een sterretje op bij het imaginaire deel v en ook een tekenwisseling:

Ik haal de divergentie erbij en die laat ik inwerken op het Pólya-vectorveld, het complex geconjugeerde vectorveld:

Omdat de divergentie in principe een driedimensionale operator is heb ik in vergelijking (9) even een w-component geïntroduceerd, maar het complexe vlak is tweedimensionaal en daarom is w gelijk aan nul: Het eerste deel van de Cauchy-Riemann-vergelijkingen, vergelijking (7), kan ik daarom ook schrijven als: Vervolgens haal ik ook de rotatie erbij en die laat ik eveneens inwerken op het Pólya-vectorveld: Omdat de rotatie een driedimensionale operator is heb ik in vergelijking (12) weer even een w-component geïntroduceerd, maar het complexe vlak is tweedimensionaal en daarom is w wederom gelijk aan nul: Het tweede deel van de Cauchy-Riemann-vergelijkingen, vergelijking (7), kan ik daarom ook schrijven als: Dit alles brengt ons bij deze belangrijke stellingen:

• een complexe functie kent een afgeleide indien voldaan wordt aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen,
• de Cauchy-Riemann-vergelijkingen impliceren dat de divergentie én de rotatie van het Pólya-vectorveld allebei nul zijn,
• een punt waar zowel de functie als zijn afgeleide bestaat noemen we een regulier punt,
• 
  Bouquet
  
  Briot

  in een gebied waar een complexe functie slechts reguliere punten bevat noemen we de functie holomorf (deze mooie term danken we aan de Franse wiskundigen Bouquet en Briot, twee studenten van Cauchy). In oude boeken praat men over een reguliere functie, later kwam de term analytische functie in zwang en tegenwoordig is het doorgaans de term holomorfe functie die gebruikt wordt. Daar waar de functie holomorf is duidt men aan met het holomorfe gebied.

Of in gewonemensentaal, een functie is overal holomorf indien:

1. de functie nergens oneindig wordt (de noemer van de functie wordt niet nul),
2. én de afgeleide van de functie bestaat (er wordt voldaan aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen),
3. én de afgeleide van de functie nergens oneindig wordt (de noemer van de afgeleide wordt niet nul, dus geen verticale raaklijnen),
4. én er zitten geen scherpe hoeken in de functie (de functie gaat soepel/geleidelijk over van het ene punt naar het volgende punt).

Indien de functie een quotiënt is dien ik dus na te gaan waar de noemer van dat quotiënt nul wordt, en daar waar de noemer nul wordt vormt zich een pool (of meerdere polen of oneindig veel polen) en is de functie niet gedefinieerd (de functiewaarde is daar +∞ of −∞).

Zie de holomorfietabel van complexe functies waar ik voor een groot aantal complexe functies heb uitgewerkt of ze al dan niet (deels) holomorf zijn.