Stel ik heb een functie die ik wil integreren van x = a tot x = b: Door deze integraal op te lossen vind ik de grootte van het oppervlak tussen de functie en de x-as vanaf x = a tot x = b, het gele vlak in figuur 1. Langs de x-as staan alle reële getallen uitgezet en de grafiek die zich vormt (de blauwe lijn in figuur 1) zijn alle bijbehorende functiewaarden f (x) die we doorgaans met y aangeven. Dus x is het argument en y is de functiewaarde: Wanneer ik een complexe functie wil integreren dan is mijn argument niet meer een reële variabele, de x in vergelijking (2), maar een complexe variabele en die geven we aan met z: Ik heb nu een functie f (z) en z is een complexe variabele met een reëel deel (dat deel noem ik x) en een imaginair deel (dat deel noem ik y): Ik had dus een functie f met één argument, zijnde x, en nu heb ik een functie f met twee argumenten, zijnde x en y. Echter, niet alleen het argument bestaat uit een reëel deel en een imaginair deel, maar ook de functie als geheel bestaat uit een reëel deel (dat deel noem ik u) en een imaginair deel (dat deel noem ik v, en u en v zijn op hun beurt weer functies van x en y): Wanneer ik deze functie ga integreren dan krijgen we te maken met een lijnintegraal langs een of ander pad door het complexe vlak van het punt A = a + ib naar het punt B = c + id: Dit pad noemen we een contour en dat geven we doorgaans aan met de letter γ. Ik zoom even in op een deel van het contour van figuur 2 en ik geef dz aan (een vector!) in een bepaald punt en ook de functie f (z) (ook een vector!) in datzelfde punt. Ik geef ook even de hoeken aan die deze vectoren maken met de horizontale as. Nu dienen we te bedenken dat: Met behulp van deze ingrediënten ga ik met vergelijking (6) knutselen (en ik laat voor de overzichtelijkheid de grenzen van de integraal weg): Vervolgens maak ik gebruik van de som-/verschilformules uit de goniometrie: Om redenen die weldra duidelijk zullen worden neem ik in plaats van de functie f de complex geconjugeerde van f, dat levert een sterretje op bij de functie f en een tekenwisseling bij de hoek α: In een plaatje ziet dat er zo uit. De som van −α en β vormt samen een hoek die ik φ noem: Ik heb het even opgeschreven als twee aparte integralen, want op deze manier herkennen we direct (toch?) een inwendig product en een uitwendig product: In woorden: de eerste integraal is het vectorveld dat exact met het contour meestroomt, en de tweede integraal is het vectorveld dat loodrecht op het contour er doorheen stroomt. Ik kan ook schrijven (n is een normaalvector die loodrecht op het contour staat): Stel dat ik integreer over een gesloten contour, dus dat mijn beginpunt en eindpunt samenvallen, én met de belangrijke voorwaarde dat de functie f in het gehele gebied binnen mijn contour holomorf is, dan wordt de integraal als volgt:

Volgens meneer Stokes geldt de stelling van Stokes:

Hiermee wordt vergelijking (17): De integraal helemaal rechts ga ik anders opschrijven en daarvoor grijp ik terug op vergelijking (15) en ik dien ook te bedenken dat: Vergelijking (19) wordt dan: De volgende truc is om de vector dz over een hoek van −90 graden te draaien, dus in plaats dat dz precies het contour volgt komt ie er nu loodrecht op te staan én naar buiten gericht. Wanneer ik tegelijk de hoek tussen de vectoren f^* en dz mee laat veranderen dan blijft per saldo alles hetzelfde: Volgens de divergentiestelling geldt: Hiermee wordt vergelijking (22):

Nu komt de grote klapper, want zoals we bij het differentiëren van complexe functies zagen (in een holomorf gebied) zijn zowel de divergentie als de rotatie van het Pólya-vectorveld altijd gelijk aan nul (de derde regel van vergelijking (25)), en dat is equivalent aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen (de eerste regel van vergelijking (25)):

Hiermee vereenvoudigt de integraal van vergelijking (24) tot: Ik had dit trouwens ook op een hele andere manier aan kunnen vliegen, ik begin nogmaals bij vergelijking (6): Voor de functie f neem ik weer de complex geconjugeerde van f, dat levert een sterretje op bij het imaginaire deel v en een tekenwisseling:

Zo beland ik op precies hetzelfde punt als vergelijking (16) en via de stelling van Stokes en de divergentiestelling kom ik vervolgens tot hetzelfde monumentale resultaat:

Dit resultaat staat nu in de boeken als de Cauchy-Goursat-stelling, maar meestal wordt meneer Goursat weggelaten en praat men over de Cauchy-stelling (of het Cauchy-theorema).

Oftewel:

• wanneer ik een complexe functie f (z) integreer langs een gesloten contour, waarbij alle punten op het contour én binnen het contour regulier zijn (het hele omsloten gebied inclusief het contour is holomorf), dan is het antwoord altijd nul.

Ik geef even een voorbeeld en daarvoor pak ik de functie f (z) = 1/z erbij: Ik maak een grafiek van deze functie. Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit. Ik zoek de functie op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat de functie overal holomorf is, behalve in de oorsprong. Indien ik een gesloten contour aanleg en de oorsprong daarbij niet omsluit dan is de integraal langs dat contour altijd nul. Ik teken een stel contouren in die allemaal nul opleveren. En op deze manier zijn ze allemaal ongelijk aan nul. Het is een beetje een rommeltje geworden, maar het idee is hopelijk wel overgekomen: in figuur 9 omvat ieder contour de oorsprong, een niet-regulier punt.

Indien zich binnen het contour één of meerdere niet-reguliere punten bevinden (dus een beperkt aantal) dan ontstaat er een hele andere situatie die ook voordelig uitpakt. Daarom ga ik vanaf nu uit van een functie die minstens één niet-regulier punt heeft, en dat punt noem ik P. Om dat punt P leg ik een cirkelvormig contour aan met P precies in het midden, en het gele vlak is een gebied waar de functie in ieder geval holomorf is. Vervolgens leg ik een ander contour aan als volgt. Ik deel het contour op in vier stukken: rood = γ₁, groen = γ₂, paars = γ₃ en blauw = γ₄. Het contour wordt doorlopen door te beginnen bij de pijlpunt en vervolgens de rode cirkel = γ₁ te volgen tegen de wijzers van de klok in (linksom), daarna steek ik over via het groene deel = γ₂ naar de paarse binnencirkel = γ₃ die ik met de wijzers van de klok mee (rechtsom) doorloop, en tenslotte steek ik weer over, ditmaal via het blauwe deel = γ₄, om tenslotte bij de pijlpunt, mijn beginpunt, te eindigen. De bijdragen aan de contourintegraal van het groene deel = γ₂ en het blauwe deel = γ₄ moeten exact gelijk zijn, behalve het teken, want het enige verschil is dat ze in de tegenovergestelde richting worden doorlopen. Dus wanneer het groene deel een positieve bijdrage levert, dan levert het blauwe deel dezelfde bijdrage maar dan negatief en vice versa. Samen komt dat dan precies op nul uit. De totale contourintegraal levert in ieder geval nul op volgens vergelijking (29), dus de bijdrage van de buitencirkel = γ₁ moet exact gelijk zijn aan die van de binnencirkel = γ₃, maar met een ander teken, om op nul uit te komen. De buitencirkel wordt echter in een andere richting doorlopen dan de binnencirkel, dus beide cirkels leveren exact dezelfde bijdrage aan de contourintegraal, ook qua teken, en dus ook als de oranje cirkel van figuur 11. Als gevolg hiervan mag ik de oranje cirkel van figuur 11, die even groot is als de rode cirkel in figuur 12, verkleinen tot de afmetingen van de paarse cirkel uit figuur 12 zonder dat ik het resultaat van de integraal beïnvloed. Merk op dat het voor dit hele verhaal helemaal niet uitmaakt of het rode deel van het contour van figuur 12, de rode buitencirkel, wel of niet een cirkel is. Indien het een vierkant zou zijn dan verandert dat niets aan bovenstaande redenering. Het mag iedere willekeurige vorm hebben, de conclusie blijft hetzelfde. Deze hele voorgaande redenering, betreffende figuur 12, kan ik natuurlijk nog een keer volgen, oftewel, niets weerhoudt mij er van om het contour, de oranje cirkel, nogmaals te verkleinen. En zo kan ik doorgaan met het verkleinen van het contour en steeds dichter tegen dat ene niet-reguliere punt aankruipen. In het limietgeval valt het contour samen met het punt P en IS de punt het contour en brengt de functiewaarde van het punt P mij de oplossing van de contourintegraal. Stapsgewijs ziet dat er zo uit. Kunnen we dit wiskundig maken? Uiteraard!

Ik begin nogmaals met figuur 11, het punt P heeft coördinaten (x, y), en het contour heeft een straal r. Het punt P is een pool van de functie f (z), en die functie f (z) ga ik als volgt opschrijven: Voor de punten die liggen op het cirkelvormige contour van figuur 19 kan ik schrijven: De differentiaal hiervan is: De contourintegraal, vergelijking (29), wordt met behulp van vergelijking (30): Nu haal ik de vergelijkingen (31) en (32) aan boord: Zoals ik met de figuren 11 tot en met 18 al liet zien is de straal van het contour helemaal niet relevant en dat blijkt ook uit deze wiskundige aanpak (want r valt eruit). Hierdoor ontstaat wel het spectaculaire voordeel dat de functie g (z) versimpelt tot een constante wanneer ik r naar nul laat gaan: Deze weg ga ik uiteraard bewandelen en daarmee wordt vergelijking (34): Ik doorloop het hele contour en daarmee varieert φ van 0 tot 2π: Een logische en spannende vraag is: wat nou als het contour twee niet-reguliere punten omsluit, P en Q? In lijn met het voorgaande verhaal kan ik wederom straffeloos het contour verkleinen. Maar nu moet ik creatiever worden, en wel als volgt. Ik ga het contour flink van vorm veranderen en doorloop eerst een cirkelvormig contour γ₁ rondom het punt P, steek dan over via een recht contour γ₂, dan doorloop ik een cirkelvormig contour γ₃ rondom het punt Q, en tenslotte steek ik weer over via het contour γ₄ om bij mijn vertrekpunt uit te komen. De bijdragen van de contouren γ₂ en γ₄ zijn identiek, maar tegengesteld van teken en vallen dus tegen elkaar weg. Dan kan ik ze ook wel verwijderen uit het plaatje. De overblijvende contouren γ₁ en γ₃ kan ik verder verkleinen totdat ze samenvallen met de punten P respectievelijk Q. Vergelijking (37) komt er dan zo uit te zien, de gecombineerde functiewaarden van de punten P en Q brengen mij de oplossing van de contourintegraal:

Door dit te veralgemeniseren voor n omsloten polen kom ik tot de Cauchy-residustelling (of kortweg: residustelling, een residu is een overblijfsel of restant):

Je ziet de Cauchy-residustelling meestal in een vorm als deze: Oftewel:

• wanneer ik een complexe functie f (z) integreer langs een gesloten contour, waarbij een eindig aantal punten binnen het contour niet regulier zijn (de rest van het omsloten gebied plus het contour is holomorf), dan is het antwoord gelijk aan de som van de functiewaarden in die niet-reguliere punten maal 2πi.

In alle andere gevallen, de gevallen waarbij geen sprake is van een holomorf gebied of het contour is niet te sluiten, ben ik gedwongen om de integraal helemaal uit te werken volgens vergelijking (6): Integreren in het complexe vlak opent een weelde aan kansen en mogelijkheden om integralen op te lossen waarbij alle andere methoden falen (of te omslachtig zijn). De keerzijde is natuurlijk dat er ook een weelde aan valkuilen en doodlopende wegen ontstaat, zie deze pagina over contourintegralen (voor de mogelijkheden én de valkuilen).