Deze integraal, de Dirichlet-integraal, ga ik oplossen als contourintegraal. Zoals gebruikelijk begin ik door mijn probleem over te hevelen naar het complexe vlak en dat doe ik door simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z:

Ik ga een plaatje maken van f (z) en daarom ga ik de functie eerst anders opschrijven (waarbij ik gebruik maak van de som-/verschilformules uit de goniometrie): Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er een stuk duidelijker uit. Ik zoek de functie f (z) = sin z op in de holomorfietabel van complexe functies en ik zoek ook de functie f (z) = z op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat beide functies overal holomorf zijn. Ik vind ook in de holomorfietabel van complexe functies dat indien f (z) = sin z holomorf is dat f (z) = sin (az) dan ook holomorf is. Verder leert de holomorfietabel van complexe functies mij dat het quotiënt van twee holomorfe functies ook holomorf is. Oftewel, f (z) = sin (az)/z is een holomorfe functie (elders op het internet wordt hier altijd blind van uitgegaan, maar dat moet toch echt wel even gecheckt worden).

Hier hoort wel een kanttekening bij, want voor z = 0 is de noemer gelijk aan nul en ontstaat er een pool, en in dat ene punt is de functie dan niet gedefinieerd en daarom ook niet holomorf. Er is dus één pool en die teken ik erbij in de grafiek. Vervolgens ga ik een contour aanleggen en een onderdeel daarvan moet zijn van x = −∞ tot x = +∞, want dat is immers de probleemstelling waar ik mee begon. Zoals je ziet ga ik met het contour dwars door de pool in de oorsprong heen en dat is zeer ongewenst. Daarom maak ik een minimale omtrekkende beweging om die pool heen en ik ga dat rechtvaardigen door straks de limiet te nemen waarin die omtrekkende beweging naar nul nadert. Nu moet ik het contour nog wel sluiten (want om redenen die weldra duidelijk worden wil ik graag een gesloten contour) en dat doe ik met een halve cirkel die de beide uiteinden van het contour van x = +∞ tot x = −∞ met elkaar verbindt. Ik ga alle deelcontouren even nummeren en ik geef ook aan waar de omtrekkende beweging begint en eindigt: De contourintegraal is de som van de integralen over alle deelcontouren:

Omdat alle punten op en binnen het contour holomorf zijn, het is een holomorf gebied, geldt volgens de Cauchy-Goursat-stelling:

Om deze reden wordt het linkerlid van de contourintegraal gelijk aan nul: De eerste term en de derde term van het rechterlid vormen samen mijn oorspronkelijke probleem (want voor dat deel van het contour is het imaginaire deel nul en geldt dus dat z = x): Die twee integralen ga ik even apart bekijken en ik ga wat manipuleren met de grenzen:

De functie f (x) = sin (ax)/x is voor x = 0 wel gedefinieerd, zoals de grafiek bovenaan deze pagina laat zien, en daarom gaat de rechterterm van bovenstaande vergelijking naar nul in de limiet dat ε naar nul gaat. Om dit beter te illustreren ga ik gebruik maken van de reeksontwikkeling van de sinus. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Waaruit volgt: In de limiet dat ε naar nul gaat, dus x wordt infinitesimaal klein, kan ik volstaan met de eerste term: Dit is inderdaad wat we zien in de grafiek bovenaan deze pagina en dit rechtvaardigt ook (achteraf...) dat ik hierboven, toen ik ging manipuleren met de grenzen, de grens x = 0 mocht gebruiken. Afijn, hiermee wordt de integraal van f (x) = sin (ax)/x rondom de oorsprong: Met dit alles vereenvoudigt mijn oorspronkelijke probleem als volgt: Ik heb nu nog twee integralen op te lossen die de contouren γ₂ en γ₄ beschrijven. Voordat ik dat in detail ga doen werk ik dat eerst in een algemene vorm uit, want beide contouren vormen immers een halve cirkel. Dit is de integraal die voor beide contouren geldt:

Volgens de formules van Euler geldt:

Door deze beide vergelijkingen van elkaar af te trekken krijg ik: Dit ga ik gebruiken in de integraal van γ₂ en γ₄: Bij de linkerintegraal in het rechterlid stel ik: En bij de rechterintegraal in het rechterlid stel ik: Zodat het volgende ontstaat: De oplossing van deze bepaalde integralen is simpelweg een getal waarin u slechts een dummy variabele is die ik iedere willekeurige naam mag geven, bijvoorbeeld z: De contouren γ₂ en γ₄ vormen beide een halve cirkel die ik kan beschrijven als volgt (hierin is r de straal van de cirkel): Hiermee wordt de integraal: Nu ga ik dit verder uitwerken per contour, allereerst γ₂: En vervolgens het contour γ₄: Hiet zit nog wel een addertje onder het gras, want de integrand kent drie punten waar die niet nul wordt, namelijk voor φ = −π, φ = 0 en φ = π (precies de grenzen van de integralen). Ik dien daarom behoedzamer te werk te gaan dan ik zojuist heb gedaan en daartoe ga ik beide integralen opsplitsen in drie delen waarbij ik deze punten afsplits: Je zou in de verleiding kunnen komen om te denken dat die e-machten exploderen wanneer r naar oneindig gaat, maar we hebben toch echt te maken met eenheidscirkels in het complexe vlak en dat heb ik daarom onderweg nog een paar maal expliciet aangegeven.

Dit alles brengt mij bij het eindantwoord: Merk op dat de constante a niet in het antwoord voorkomt.

Een interessante vraag is natuurlijk hoe het gelopen zou zijn indien het contour γ₂ niet aan de bovenkant om de pool heen was gegaan, maar aan de onderkant.

Nu is het niet meer zo dat integreren over het totale contour nul oplevert, omdat er nu een niet-holomorf punt binnen het contour ligt (zijnde de pool). Nu moet ik gebruik maken van de Cauchy-residustelling:

Waarbij voor het residu geldt: Ik ga die pool buiten de functie brengen: Waaruit volgt: Dat dit het antwoord nul oplevert duidt erop dat de pool verwijderbaar is, het is geen onoverkomelijk obstakel. Dat is direct zichtbaar in de grafiek bovenaan deze pagina waar de functie gewoon een waarde heeft voor x = 0 en dat hebben we ook gezien toen ik de Taylor-reeks erbij haalde, er ontstond toen een polynoom waar geen pool in voorkwam: Daarom exit Cauchy-residustelling.

Kan ik deze Taylor-reeks dan niet gelijk vanaf het begin gebruiken? Helaas, dat levert problemen op voor de convergentie, want de belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard): Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit: Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel | x | < 2n en dat gaat dus niet lukken voor x = ±∞.