Vectoren, vraagstuk 41
Gegeven G:
- Maak een schets van G.
- Teken een lijn door de oorsprong die een hoek θ met de positieve x-as maakt. Druk de afstand tot de oorsprong van het snijpunt van deze lijn met de parabool y2 = 4 − 4x uit in θ.
-
Bereken de volgende integraal door over te gaan op poolcoördinaten:
-
Maak een schets van G.
Een plaatje van het integratiegebied G ziet er als volgt uit:
-
Teken een lijn door de oorsprong die een hoek θ met de positieve x-as maakt.
Druk de afstand tot de oorsprong van het snijpunt van deze lijn met de parabool
y2 = 4 − 4x uit in θ.
Voor de rechte lijn geldt dat θ = constant. Het snijpunt met de parabool kan dan gevonden worden door de parabool om te schrijven naar poolcoördinaten en vervolgens die waarde voor θ in te vullen. De relatie tussen Cartesische coördinaten en poolcoördinaten is:Daarmee wordt de vergelijking van de parabool:
En hieruit kunnen we de snijpunten vinden:
Omdat r2 negatief is, geeft r1 het snijpunt dat we zoeken. Dus:
-
Bereken de volgende integraal
door over te gaan op poolcoördinaten:
Ik ga eerst de te integreren functie omschrijven naar poolcoördinaten:
Verder geldt nog:
Uit het schetsje is te zien dat er geïntegreerd moet worden van r = 1 (de cirkel) tot de parabool:
Alles speelt zich af in het eerste kwadrant en daardoor worden de grenzen voor θ:
Zodat de integraal uiteindelijk wordt:
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 42
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 40
Overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 45
Vectoren, vraagstuk 90
Taylor-reeksen
De Taylor-reeks van
De convergentie van een reeks
Bijzondere figuren
Holomorfie van de functie
Integreren van complexe functies
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 17
Stabiliteit van cirkelvormige banen om een centrale massa
Afleiding van de Unruh-temperatuur
Het traagheidsmoment van een homogene ronde ster
De energie in een condensator
De illusie van de barracuda
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
De Einstein-Rosen-brug
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
De buitenkant van een wormgat
De integraal van
De astroïde
Het waarneembare universum
Wat is een wormgat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen