Omdat dit baksteenprobleem nogal een uitgebreid verhaal is heb ik het onderverdeeld in vijftien hoofdstukken (als je zo veel mogelijk wiskunde wilt overslaan dan raad ik aan om gelijk naar hoofdstuk 5 te gaan):

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

---

Afleidingen van de vergelijkingen

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Dit is de Schwarzschild-oplossing:

Hiermee kom je tot de vergelijking van een geodetische lijn rondom een puntmassa (voor de afleiding zie deze pagina, de vergelijkingen (28) en (30) aldaar), als differentiaalvergelijking en als integraal: Hierin is u de reciproke van de radiële coördinaat r: Van deze pagina, waar ik de bovenstaande vergelijkingen (2) heb opgehaald, neem ik ook de vergelijkingen (15) en (21) over: Hierin is J het impulsmoment, een constante, en K is ook een constante. Voor de eigentijd van een waarnemer geldt altijd: Dit ga ik invullen in vergelijking (4b): Ik stel: Omdat K een constante is, is E dat uiteraard ook. Om redenen die later duidelijk zullen worden noem ik E de energie van de baksteen. Daarmee wordt vergelijking (6):

---

Onderzoek van de functie

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Ik ga verder werken met vergelijking (2b), de integraal. Wanneer ik die integraal oplos en daarna u vervang door 1/r dan heb ik de oplossing van dit vraagstuk in poolcoördinaten en klaar is Kees. Het venijn zit uiteraard in het oplossen van de integraal, want daarin staat een derdegraads vergelijking, en die zit ook nog verstopt onder een wortelteken, en tot overmaat van ramp staat de wortel in de noemer.

Om te beginnen breng ik de Schwarzschild-straal even in herinnering, de horizon van een zwart gat: Met behulp van de vergelijkingen (7) en (9) wordt vergelijking (2b): Nu ga ik mij eerst richten op die derdegraads vergelijking in de noemer. Een dergelijke vergelijking ziet er in het algemeen zo uit: Het is duidelijk in vergelijking (10) dat a > 0, dus die derdegraads vergelijking in de noemer ‘begint’ ergens linksonder (in het derde kwadrant) en ‘eindigt’ ergens rechtsboven (in het eerste kwadrant).

a < 0	a > 0
Tabel 1

Van een derdegraads vergelijking kan ik de discriminant uitrekenen: De discriminant vertelt mij hoeveel nulpunten er zijn (met nulpunten bedoel ik op deze pagina de reële nulpunten, oftewel de punten waar de functie de horizontale as snijdt of raakt, dus complexe nulpunten laat ik buiten beschouwing):

• D < 0: één nulpunt.
• D = 0: twee nulpunten,
• D > 0: drie nulpunten,

D < 0	D = 0	D > 0
Tabel 2

Laat ik daar dan maar eens mee beginnen, ik ga de discriminant uitrekenen: Ik heb nu een tweedegraads vergelijking in E², een parabool, en daar maak ik even een plaatje van. Zoals figuur 1 laat zien kan de discriminant negatief zijn, nul of positief. Oftewel, hij kan alle waarden aannemen. Het is natuurlijk wel interessant om te onderzoeken wanneer die discriminant dan gelijk aan nul wordt. Daarvoor gebruik ik uiteraard de abc-formule: We verkeren in de gelukkige omstandigheid dat het deel onder de wortel te ontbinden is in gelijke factoren: En zo vind ik de beide nulpunten: Hier maak ik ook een plaatje van. Om redenen die later duidelijk zullen worden maak ik de voorgaande grafiek nog een keer, maar dan met E in plaats van E² langs de verticale as. Ik kijk ook even wat er gebeurt voor grote waarden van J: De linkerterm is een parabool en komt overeen met de rode lijn in figuur 2, en de rechterterm komt overeen met de groene lijn in figuur 2.

Ik kan in vergelijking (16a) ook aflezen waar D een maximum bereikt, de top van de parabool: De waarde van D is dan: Er treedt een bijzonder geval op wanneer de top precies aan de horizontale as raakt. Deze top vind ik door vergelijking (19) nul te stellen: En inderdaad vallen in dit geval de nulpunten volgens vergelijking (16a) samen. Dan is E (vergelijking (18)): Als al dit rekenwerk klopt dan is voor deze waarden van J en E de discriminant D (vergelijking (13)) gelijk aan nul: Het punt (J, E²) = (√3, 8/9) ≈ (1.732, 0.889) in figuur 2 is inderdaad het punt waar de rode lijn en de groene lijn samenkomen. Links daarvan is de discriminant altijd negatief.

Ik ga vergelijking (13) anders opschrijven: Ik heb nu een tweedegraads vergelijking in J² (het deel tussen de haakjes), een parabool, en daar maak ik twee plaatjes van, voor E < 1 en E > 1. Zoals de figuren 4 en 5 laten zien kan de discriminant negatief zijn, nul of positief. Oftewel, hij kan alle waarden aannemen, maar voor E < 1 is de discriminant altijd negatief. Het is natuurlijk wederom interessant om te onderzoeken wanneer die discriminant dan gelijk aan nul wordt. Dus nogmaals de abc-formule in actie om de beide nulpunten te vinden: We verkeren weer in de gelukkige omstandigheid dat het deel onder de wortel te ontbinden is in gelijke factoren: En zo vind ik de beide nulpunten: Hier maak ik ook een plaatje van. Ook in dit geval maak ik de voorgaande grafiek nog een keer, maar dan met J in plaats van J² langs de verticale as. Ik kijk wat er gebeurt voor grote waarden van E: De linkerterm is een parabool en komt overeen met de rode lijn in figuur 6, en de rechterterm komt overeen met de groene lijn in figuur 6.

Ik kan in vergelijking (26a) ook aflezen waar D een maximum bereikt, de top van de parabool: De waarde van D is dan: Er treedt een bijzonder geval op wanneer de top precies aan de horizontale as raakt. Deze top vind ik door vergelijking (29) nul te stellen: En inderdaad vallen in dit geval de nulpunten volgens vergelijking (26a) samen. Dan is J (vergelijking (28)): Het moge duidelijk zijn dat het impulsmoment niet imaginair kan zijn noch oneindig en dat alleen de derde oplossing voldoet. Als al dit rekenwerk klopt dan is voor deze waarden van J en E de discriminant D (vergelijking (23)) gelijk aan nul: Het punt (E, J²) = (2/3√2, 3) ≈ (0.943, 3) in figuur 6 is inderdaad het punt waar de rode lijn en de groene lijn samenkomen. Links daarvan is de discriminant altijd negatief. Merk op dat de figuren 3 (E als functie van J) en 7 (J als functie van E) elkaars inverse zijn (door de ene grafiek te spiegelen in de lijn E = J onstaat de andere grafiek). We weten nu de criteria wanneer de derdegraads vergelijking één (D < 0), twee (D = 0) of drie (D > 0) nulpunten heeft. Ik heb de discriminant eerst als functie van E² geschreven (vergelijking (13)) en daarna als functie van J² (vergelijking (23)): Daarna heb ik in beide gevallen uitgebreid onderzocht waar zich de extrema bevinden, en in het tweede geval deed ik dat alleen voor het deel tussen de haakjes. Voor de volledigheid maak ik ook nog een plaatje van de gehele vergelijking (23) (en niet alleen het deel tussen de haakjes). Tenslotte wil ik proberen D als functie van E en J in een 3D-plot te vangen.

---

De effectieve potentiaal

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Dan is er nog een ander onderwerp dat besproken moet worden en daarvoor ga ik uit van de snelheid van de baksteen. Die snelheid heb ik afgeleid op deze pagina, dat is de snelheid van een baksteen die een zwart gat nadert (vergelijking (6) op die pagina) bezien vanuit een waarnemer ergens ver verwijderd van het zwarte gat: Ik ga links en rechts kwadrateren en nog wat knutselen: Dit combineer ik met de vergelijkingen (5), (7), (8) en (9): De rechterterm noemen we de effectieve potentiaal (in het kwadraat) V²: Oftewel: Hier maak ik ook een plaatje van. Ook hier is het weer interessant om de extrema op te zoeken en daarom ga ik de afgeleide naar r bepalen: Met behulp van de abc-formule (toegepast op de teller) vind ik de extrema: Deze punten geef ik aan in figuur 13. Merk op dat de onderste vier lijnen (rood, lichtgroen, oranje en paars) helemaal geen nulpunten hebben in de afgeleide van de potentiaal en dat de potentiaalfunctie voor die waarden van J (J < √3) dus nergens horizontaal loopt. Merk ook op dat de linker zes punten allemaal op een top liggen en dat dat dus geen stabiele punten zijn, of in andere woorden: dat zijn geen stabiele banen om om een zwart gat te draaien. Deze zes punten zijn trouwens allemaal minoplossingen van vergelijking (39), de plusoplossingen liggen rechts buiten beeld. Alleen de blauwe lijn heeft een punt (op drie Schwarzschild-stralen van het centrum van het zwarte gat) die op de rand van stabiliteit verkeert (de plusoplossing en de minoplossing vallen samen). Conclusie: binnen twee Schwarzschild-stralen van de horizon bevinden zich geen stabiele banen en verdwijnt uiteindelijk alles in het zwarte gat (voor meer details zie verderop op deze pagina en ook deze pagina). Ik zal figuur 14 nogmaals laten zien, maar dan met een andere horizontale schaalverdeling zodat de plusoplossingen ook zichtbaar worden. De combinatie van de vergelijkingen (35) en (36) levert aldus op:

---

Nulpunten in de noemer

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Dan kunnen we ons nu vol op het oplossen van de derdegraads vergelijking storten. Die ziet er zo uit: Ik ga vier hulpvariabelen in het leven roepen: Dit stelt mij in staat in alle situaties de nulpunten uit te rekenen (voor alle details zie de pagina over de derdegraads vergelijking).

D < 0	Eén nulpunt:
D = 0	Twee nulpunten, een snijpunt en een raakpunt (het raakpunt is feitelijk twee samenvallende nulpunten): Indien q'' > 0 dan ligt het raakpunt rechts van het snijpunt en indien q'' < 0 dan ligt het raakpunt links van het snijpunt.
D > 0	Drie nulpunten, van links naar rechts:
Tabel 3

Een logische volgende stap is om die vier hulpvariabelen uit te rekenen:

---

Radiële inval

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Vervolgens begin ik met het allersimpelste geval: radiële inval. Dan is het impulsmoment J = 0 en wordt de integraal: Zoals verwacht is in het geval van radiële inval de hoek φ een constante, en of ik de baksteen gooi of laat vallen maakt niets uit voor (de vorm van) de baan die de baksteen volgt. In een plaatje ziet dat er zo uit. In het geval dat J = 0 is de waarde van E niet relevant en eindigt de baksteen onherroepelijk via de kortst mogelijke weg in het zwarte gat.

Condities	Baan van de baksteen
J = 0	De baksteen valt radieel in het zwarte gat (0 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < ∞)
Tabel 4

---

Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Dit was een eenvoudig inkoppertje, maar in alle andere situaties zal toch echt de integraal helemaal uitgewerkt moeten worden. Ik begin met de situatie waarbij D < 0, dus er is één nulpunt en dat nulpunt kan ik uitrekenen volgens vergelijking (43): De integraal zoek ik op in de tabel met integralen:

Deze oplossing is bereikt door de integraal om te schrijven naar een elliptische integraal van de eerste soort. Je ziet in de oplossing dat de oorspronkelijke variabelen onherkenbaar veranderd zijn doordat er onderweg talrijke transformaties hebben plaatsgevonden, maar het ergste is dat de oplossing in dit geval (ruimschoots) onvoldoende praktisch nut heeft omdat de oplossing tot stand gekomen is middels een Taylor-reeks. Willen we daarmee verder werken dan zullen we vele duizenden termen mee moeten nemen en dat wordt zelfs voor de computer (mijn computer) een onhaalbare rekenexercitie.

Daarom ga ik het heel anders aanpakken en ga ik voor het uitwerken van de integraal gebruik maken van de trapeziummethode: Bij ieder volgend plaatje vermeld ik daarom het aantal intervallen dat ik gebruikt heb in de berekening, en tevens is vanaf nu φ₀ = 0.

In een simpel geval dat het inkomende object nauwelijks impulsmoment heeft dan ziet het resultaat er als volgt uit, vergelijkbaar met de radiële inval. Ik ga het impulsmoment opvoeren, in het volgende plaatje is J = 2. Langzaam maar zeker wordt er afbuiging zichtbaar, in het volgende plaatje is J = 3. Door naar J = 4. En ook nog J = 4.9 Voor E = 2.01177698018854097538... en J = 5 is D precies gelijk aan nul en krijgt g (u) een raakpunt (of preciezer gezegd: twee samenvallende nulpunten): De onderstaande grafiek laat zien hoe dat raakpunt zich vormt. De vorming van dat raakpunt zorgt voor een piek in de integrand f (u): Ook dat laat ik zien in een grafiek. Die piek in de integrand maakt het integreren lastig (dat is heel zacht uitgedrukt), maar zorgt wel voor de mooiste en interessantste plaatjes. Daarom ga ik proberen zo dicht mogelijk bij D = 0 (waar het raakpunt ontstaat) te komen. Het is wel mooi om even in te zoomen op de omgeving van het zwarte gat. Voor alle duidelijkheid: de baksteen cirkelt in dit geval vijfmaal om het zwarte gat heen en zelfs bij een inzoomcompositie wordt dit niet duidelijk zichtbaar (het blijkt uit de datafile). Ik ga nog een stap verder door nog dichter tegen de lijn D = 0 aan te kruipen. Wat ik in de voorgaande stappen heb gedaan is de energie constant gehouden en het impulsmoment steeds verder opgevoerd tot aan de rand van D = 0, zie het onderstaande overzicht.

---

Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Dan is er nog een ander punt van aandacht en daarvoor pak ik nogmaals het polynoom g (u) erbij: De laatste term bepaalt de waarde van g (0), het snijpunt met de verticale as. Voor E > 1 is g (0) > 0 en voor E < 1 is g (0) < 0. Echter, wanneer g < 0 dan bestaat de integrand f (u) niet: Voor E < 1 bestaat de integrand dus niet vanaf u = 0 tot aan het nulpunt van de derdegraads vergelijking. En omdat r = 1/u betekent dit dat de integrand niet bestaat voor grote waarden van r. De waarden van r < R_s zijn niet interessant, omdat dat binnen de horizon van het zwarte gat is. Dit komt overeen met u > 1 en dan blijft er het volgende over van figuur 31. Ik zal dit even schematisch laten zien. Voor D < 0 en E > 1 bestaat de integrand voor het gehele traject van r = ∞ tot r = R_s. Voor E < 1 bestaat de integrand vanaf het nulpunt van de derdegraads vergelijking. Hoe ziet de baan van de baksteen er dan uit? Ik neem daarvoor de blauwe lijn uit figuur 32. Ik ga E in stapjes verhogen. Wellicht denk je “voer het impulsmoment dan even flink op”, maar zo simpel ligt dat niet zoals uit onderstaande grafiek blijkt (het is dezelfde grafiek als figuur 32, maar dan met J = 5 in plaats van J = 1). Ik zal even inzoomen op het rechterdeel. De baan van de baksteen ziet er dan bijvoorbeeld zo uit. Voor E < 1 ontstaan er dus banen die niet ergens ver weg (ver van het zwarte gat) beginnen, maar banen die dichtbij het zwarte gat ontstaan (omdat ik vanaf die plek de baksteen gooi). Toch zit daar ook nog weer een kanttekening aan en daarvoor grijp ik helemaal terug op figuur 9 en het gaat mij om het deel dat ik hieronder rood gemaakt heb. Voor dat rode vlakje geldt dat E < 1, maar D > 0 en dus heeft de functie g (u) daar drie nulpunten. En daar waar g (u) < 0 bestaat de integrand f (u) niet. In dit geval wordt de integrand in tweeën gesplitst, een linkerdeel en een rechterdeel. Deze situatie parkeer ik even (daar kom ik later op terug, zie hoofdstuk 13). Op dit moment kunnen we dus ook de conclusie trekken dat voor D < 0 de baksteen gegarandeerd in het zwarte gat eindigt.

Condities		Baan van de baksteen
J = 0		De baksteen valt radieel in het zwarte gat (0 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < ∞)
D < 0	E ≥ 1	De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘ver weg’ (0 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < ∞)
	E < 1	De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘dichtbij’ (n1 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < 1/n1)
Tabel 5

---

Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

De volgende categorie is die waarbij de discriminant gelijk is aan nul. In dat geval hebben we twee nulpunten: een snijpunt en een raakpunt. We kunnen dan twee gevallen onderscheiden.

q'' < 0	q'' > 0
Tabel 6

De waarde van q'' had ik hiervoor al uitgerekend: En ik heb uitdrukkingen gevonden voor E² en J² in het geval dat D = 0: Door de vergelijkingen (16a) en (26a) bij toerbeurt in te vullen in vergelijking (46b) vind ik uitdrukkingen voor q'' waarbij q'' enkel en alleen afhangt van E respectievelijk J. Eerst vul ik vergelijking (16a) in: Hier maak ik weer een plaatje van. Vervolgens vul ik vergelijking (26a) in: Ik ga de noemer even apart onder handen nemen: Dan komt vergelijking (54) er zo uit te zien: Nu ga ik de teller even apart onder handen nemen: Hiermee wordt vergelijking (56): Ook dit vraagt natuurlijk om een plaatje. In de figuren 9 en 10 kan ik nu informatie toevoegen betreffende q''. Het moge duidelijk zijn dat het een stuk prettiger is om verder te werken met vergelijking (53) dan met vergelijking (58). Vergelijking (53) ga ik dan ook gebruiken om de nulpunten uit te rekenen (volgens de vergelijkingen (44)): Deze nulpunten vragen natuurlijk ook om een plaatje. Ik begin met de situatie dat q'' < 0, dus het raakpunt ligt links van het snijpunt, oftewel, n_2/3 < n₁. n_2/3 volgt dan de paarse lijn in figuur 50 en n₁ de oranje lijn. Voor q'' < 0 geldt sowieso dat E < 1 zoals de figuren 48 en 49 laten zien. Schematisch ziet dat er als volgt uit, de integrand bestaat voor het traject van r = 1/n₁ tot r = R_s. Dat we een raakpunt hebben (twee samenvallende nulpunten) is goed nieuws, want daardoor is de integraal exact op te lossen. Dus de oplossing van de integraal zoek ik simpelweg op in de tabel met integralen: Voor de variabele u geldt: Hiermee wordt vergelijking (60): Vervolgens reken ik het verschil van de nulpunten uit (en in figuur 50 kan ik aflezen dat ik bij n₁ de plusoplossing moet gebruiken en bij n_2/3 de minoplossing): Hiermee wordt vergelijking (61): Het is weer de hoogste tijd voor plaatjes. Ik begin met J = 3 en ik ga het impulsmoment in stappen verlagen. Vervolgens J = 2 en lager. Wat ik in de voorgaande stappen heb gedaan is het impulsmoment steeds verder verlaagd, waarbij ik E zo gekozen heb dat D = 0 en q'' < 0. Zie het onderstaande plaatje. Zoals je ziet eindigt ook in al deze gevallen de baksteen in het zwarte gat, maar naarmate ik het omslagpunt van q'' < 0 naar q'' > 0 (het punt q'' = 0) nader duurt het wel steeds langer voordat de baksteen geconfronteerd wordt met het onvermijdelijke. In figuur 56 draait de baksteen vijf rondjes om het zwarte gat voordat hij erin verdwijnt. Door nog dichter tegen het punt q'' = 0 aan te kruipen zal de baksteen nog meer rondjes om het zwarte gat draaien, in het onderstaande plaatje doet ie dat om precies te zijn maar liefst 173 keer!

---

Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Dan ga ik nu de situatie onderzoeken waarbij q'' > 0, dus het raakpunt ligt nu rechts van het snijpunt, oftewel, n_2/3 > n₁. n_2/3 volgt dan de groene lijn in figuur 50 en n₁ de rode lijn. Wat natuurlijk direct opvalt is dat de rode lijn onder de horizontale as duikt en n₁ dus negatief kan worden (daar waar E ≥ 1 overgaat naar E < 1). Daarnaast is de integrand f (u) bij het raakpunt niet gedefinieerd (omdat de noemer daar nul is) en wordt dus in twee delen gesplitst. Het linkerdeel (de groene lijn in figuur 60) ligt tussen het snijpunt en (links van) het raakpunt, het rechterdeel (de blauwe lijn in figuur 60) ligt rechts van het raakpunt. Schematisch gezien voorspelt dat drie categorieën banen. Dat we een raakpunt hebben (twee samenvallende nulpunten) is nog steeds goed nieuws, want daardoor is de integraal exact op te lossen. Dus de oplossing van de integraal zoek ik weer op in de tabel met integralen (en ik werk het eerst uit voor de situatie links van het raakpunt, dus u < n_2/3, oftewel het groene deel in figuur 60, oftewel de oranje balk in de figuren 62 en 63): Voor de variabele u geldt: Hiermee wordt vergelijking (64): Vervolgens reken ik het verschil van de nulpunten uit (en in figuur 50 kan ik aflezen dat ik bij n₁ de minoplossing moet gebruiken en bij n_2/3 de plusoplossing): Hiermee wordt vergelijking (65): En zo wordt het weer de hoogste tijd voor plaatjes. Bij de volgende reeks grafieken vermeld ik het aantal rondjes dat de baksteen om het zwarte gat draait, maar dat is puur voor de vorm. De baksteen komt in een stabiele baan, dus indien ik de simulatie langer laat doorlopen dan neemt het aantal rondjes evenredig toe. Ik begin met J = 4 en ik ga het impulsmoment in stappen verlagen. Vervolgens J = 2.5 en lager. Merk op dat er nu een overgang plaatsvindt van E ≥ 1 naar E < 1 en dat de integrand daarom niet meer verloopt volgens figuur 62, maar volgens figuur 63. Wat ik in de voorgaande stappen heb gedaan is het impulsmoment steeds verder verlaagd, waarbij ik E zo gekozen heb dat D = 0 en q'' > 0. Zie het onderstaande plaatje.

---

Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Dan krijgen we nu nog een categorie banen ‘aan de andere kant’ van het raakpunt n_2/3, oftewel de situatie rechts van het raakpunt, oftewel u > n_2/3, oftewel het blauwe deel in figuur 60, oftewel de oranje balk in figuur 61. Dit zijn weer banen waarbij de baksteen in het zwarte gat verdwijnt. Ik kan nog steeds de integraal exact oplossen (want we hebben twee samenvallende nulpunten), maar waar ik in vergelijking (64) de plustekens gebruikte gebruik ik nu de mintekens: Voor u vul ik weer 1/r in: Hiermee wordt vergelijking (68): Voor het verschil van de nulpunten geldt nog steeds: Hiermee wordt vergelijking (69): Die oneindig in vergelijking (70) is slechts een beginwaarde en daar ga ik gewoon een groot getal voor invullen. Dan komen nu uiteraard weer de plaatjes. Ik begin met J = 4 en ik ga het impulsmoment in stappen verlagen. De serie plaatjes hiervoor had dezelfde parameters als deze laatste serie, maar eerder was dat voor u < n_2/3 (de figuren 64 tot en met 69) en nu voor u > n_2/3 (de figuren 71 tot en met 76). Het is wel instructief om de figuren die paarsgewijs vermeld staan in figuur 77 samen te brengen (per paar) in één grafiek. De blauwe banen zijn weliswaar stabiel, maar daar is ook gelijk alles mee gezegd. De integrand bestaat maar op één punt niet, het raakpunt n_2/3, en dat is de oneindig dunne scheidslijn tussen de stabiele banen (blauw) en de banen die in het zwarte gat eindigen (rood). Dit is het raakpunt n_2/3: De reciproke hiervan is de afstand tot het middelpunt van het zwarte gat: Merk op dat dit exact gelijk is aan de minoplossing van de extrema van de effectieve potentiaal: Daarom toon ik nogmaals figuur 14. Daar waar het raakpunt optreedt bevindt zich precies een potentiaaltop. Dat de baksteen volgens een blauwe baan om het zwarte gat cirkelt is net zo stabiel als een potlood dat op zijn punt balanceert, en de minste of geringste verstoring zal de baksteen alsnog in het zwarte gat doen storten.

Ik kan mijn tabel met conclusies weer uitbreiden.

Condities				Baan van de baksteen
J = 0				De baksteen valt radieel in het zwarte gat (0 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < ∞)
D < 0	E ≥ 1			De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘ver weg’ (0 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < ∞)
	E < 1			De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘dichtbij’ (n1 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < 1/n1)
D = 0	q'' < 0			De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘dichtbij’ (n1 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < 1/n1)
	q'' > 0	E ≥ 1	u > n2/3	De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘dichtbij’ (n2/3 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < 1/n2/3)
			u < n2/3	De baksteen eindigt in een baan om het zwarte gat vanaf ‘dichtbij’ (n1 < u < n2/3 oftewel 1/n2/3 < r < 1/n1)
		E < 1		De baksteen eindigt in een baan om het zwarte gat vanaf ‘ver weg’ (0 < u < n2/3 oftewel 1/n2/3 < r < ∞)
Tabel 7

Voor een echte stabiele baan zal de scheidslijn tussen stabiele banen en invallende banen breder moeten zijn dan één enkel punt (het raakpunt n_2/3). Het raakpunt moet als het ware uit elkaar getrokken worden tot twee aparte nulpunten en dat gebeurt wanneer de discriminant groter is dan nul.

---

Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Indien D > 0 dan zijn er drie nulpunten als volgt (en vanaf nu ook telkens in deze volgorde, dus n₁ is het linkernulpunt, n₂ het middelste nulpunt en n₃ het rechternulpunt). De integrand bestaat tussen n₁ en n₂ en rechts van n₃. Schematisch gezien voorspelt dit weer drie categorieën banen. De drie nulpunten kan ik uitrekenen volgens de vergelijkingen (45) en de hulpvariabelen die hierin voorkomen had ik al uitgerekend (zie de vergelijkingen (46)). Dus dat ga ik doen, ik ga de nulpunten uitrekenen: Ik begin met de eerste categorie, u > n₃, en de integraal zoek ik op in de tabel met integralen: Waarbij voor h geldt: Net als in de situatie D < 0 is deze oplossing bereikt door de integraal om te schrijven naar een elliptische integraal van de eerste soort. Om al die termen mee te nemen wordt weer een kolossale klus (als het al überhaupt lukt) en daarom ga ik ook hier gebruik maken van de trapeziummethode: Bij ieder volgend plaatje vermeld ik daarom het aantal intervallen dat ik gebruikt heb in de berekening, en ik stel φ₀ = 0.

Binnen het domein “D > 0” ga ik een aantal punten eruit pikken en daarvoor de baan van de baksteen uitrekenen. Omdat u > n₃ en dus 1/n₃ < r < R_s zijn dit allemaal trajecten waarbij de baksteen in het zwarte gat eindigt (dit project kost een hoop bakstenen...). Zo zijn we al heel wat bakstenen kwijtgeraakt. Anderzijds, door de voorgaande reeks plaatjes samen te brengen in één grafiek (met verschillende kleuren) wordt het bijna kunst. Ik zal in figuur 9 aangeven voor welke punten binnen het domein “D > 0” ik de baan van de baksteen heb uitgerekend. Aan het verlies van bakstenen komt nu (eindelijk) een eind, want in de volgende hoofdstukken gaan we de stabiele banen onderzoeken.

---

Stabiele open banen (D > 0)

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

De laatste twee categorieën die aan bod komen zijn stabiele banen waarbij we eerst kijken naar de zogenaamde open banen, zie nogmaals figuur 86. Een open baan wil zeggen dat de baksteen aan komt vliegen vanuit ver weg, eenmalig om het zwarte gat heen beweegt (in meer of mindere mate, want de baksteen kan alleen een beetje worden afgebogen of wellicht zelfs een heel rondje maken), en vervolgens weer vertrekt naar ver weg om nooit meer terug te keren. Omdat E ≥ 1 is n₁ ≤ 0 en beweegt de baksteen zich van r = ∞ naar r = 1/n₂ en daarna weer terug naar r = ∞. Ik begin met J = 5 en ik varieer de energie. Door de energie E verder op te voeren draait de baksteen zelfs om het zwarte gat heen voordat ie weer vertrekt. Ik ga even inzoomen op de omgeving van het zwarte gat en ik vermeld het aantal rondjes die de baksteen om het zwarte gat draait (bezien vanaf r = +∞ tot r = −∞). Zoals je in figuur 98 ziet komt de baksteen niet telkens op dezelfde ‘hoogte’ aanvliegen, maar verschilt dat afhankelijk van de waarde van E. Deze ‘hoogte’ is de y-waarde voor r = ∞ en die ga ik uitrekenen. Voor y geldt: Voor r = ∞ wordt dit: Die φ₀ kan ik uitrekenen door het eerste trapezium uit te rekenen van de trapeziummethode. Dat doe ik als volgt: Hierin is ∆ de breedte van één trapezium en die wil ik uiteraard minimaal hebben: Dit vul ik in in vergelijking (76): De functiewaarden kan ik uitrekenen volgens vergelijking (52) en zo vind ik y: De y-waarde die ik zojuist gevonden heb heet de impactparameter (of in beter Nederlands: inslagparameter, in de literatuur vaak aangegeven met de letter b) en het is de loodrechte afstand van ‘iets’ (in dit geval de baksteen) tot de as die door het middelpunt van het aantrekkende (of afstotende) object gaat (in dit geval het zwarte gat) op het moment dat dat ‘iets’ nog op grote afstand is van het object. Indien ik de bakstenen telkens met dezelfde impactparameter wil laten aanvliegen dan moet voor twee banen gelden: Ik maak figuur 98 nog een keer, maar dan met een gecorrigeerd impulsmoment volgens vergelijking (81). De baksteen komt nu telkens met de dezelfde impactparameter aanvliegen, maar zowel energie als impulsmoment nemen toe. Omdat de baksteen steeds meer energie (lees: snelheid) én impulsmoment (lees: snelheid) krijgt ontstaat steeds meer het beeld dat de baksteen rechtdoor vliegt. Logisch, de zwaartekracht van het zwarte gat krijgt steeds minder vat op de baksteen.

De volgende plaatjes zijn met een constant impulsmoment en een variërende energie. Ik begin met J = 4 en laat die vervolgens stapsgewijs dalen (en om de plaatjes overzichtelijk te houden laat ik de bakstenen tijdelijk weg). Ik zal in figuur 9 weer aangeven voor welke punten binnen het domein “D > 0” ik de baan van de baksteen heb uitgerekend. Dan kunnen we ons nu opmaken voor de laatste etappe van deze lange pagina.

---

Stabiele gesloten banen (D > 0)

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Tot slot komen we bij de banen volgens figuur 87, de stabiele gesloten banen. Het feit dat n₁ > 0 impliceert dat E < 1. Voor de duidelijkheid haal ik figuur 9 er weer even bij. In dit hoofdstuk, de stabiele gesloten banen, zijn we alleen geïnteresseerd in het deel dat E < 1, dus ik ga even inzoomen op het onderste deel van de grafiek. Ik begin met J = 5. Het eerste dat opvalt is dat naarmate de waarde van E stijgt dat de baan dan naar een open baan neigt. Logisch, zie het vorige hoofdstuk, want voor E ≥ 1 is de baan open. Het tweede dat opvalt is dat naarmate de waarde van E daalt dat de baan dan steeds cirkelvormiger wordt, zie het volgende plaatje. Maar ook hier is een grens aan, want indien ik E nog een fractie verlaag dan wordt D ≤ 0 en kan de baan niet meer bestaan. In bovenstaande figuur is E = 0.994882114, de discriminant is nog slechts 2.294 ∙ 10⁻¹⁰ en de nulpunten n₁ en n₂ schuren al tegen elkaar aan (n₁ = 0.0206303 en n₂ = 0.0206476) en gaan bijna samen een raakpunt vormen. Wanneer de nulpunten n₁ en n₂ zouden kunnen samenvallen dan werd de baan perfect cirkelvormig, maar dat punt is dus onbereikbaar. En de baan is dan weliswaar niet cirkelvormig, de baan is wel stabiel.

Het derde dat opvalt in figuur 108 is duidelijk zichtbaar bij de blauwe lijn: de baan sluit niet na één omwenteling om het zwarte gat, de baan precesseert! Ik pik die blauwe baan er even uit en laat de baksteen tien rondjes om het zwarte gat maken hetgeen de precessie overduidelijk zichtbaar maakt. En met vijftig rondjes ontstaat deze prachtige figuur. Nu met J = 4. In alle gevallen treedt ook hier precessie op. Ik pik nu de oranje baan er uit en laat de baksteen tien rondjes om het zwarte gat maken. En met vijftig rondjes ontstaat weer een prachtige figuur. Ik ga het impulsmoment verder verlagen: Ik zal in figuur 107 aangeven voor welke punten binnen het domein “D > 0” ik de baan van de baksteen heb uitgerekend. Ter lering (en vermaak, voor de mooie plaatjes) is het wel leuk om het domein “D > 0” nog iets verder te verkennen voor lagere waarden van J. Merk op dat de baksteen steeds meer rondjes om het zwarte gat draait naarmate D naar nul nadert. En merk ook op dat er in dit domein geen open banen meer bestaan, of de neiging daartoe, omdat de waarde E = 1 niet bereikt kan worden (onder de voorwaarde dat D > 0 wel te verstaan). Als uitsmijter heb ik een baan uitgezocht waarbij de precessie minimaal is, dat levert deze plaatjes op. Voor de laatste reeks plaatjes heb ik deze punten gebruikt binnen het domein “D > 0”.

---

Belangrijke vergelijkingen

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Dit is een overzicht met de belangrijkste vergelijkingen die de revue gepasseerd zijn.

De Schwarzschild-oplossing: Het impulsmoment J (van de baksteen): De energie E (van de baksteen): De Schwarzschild-straal: De variabele u is de reciproke van de radiële coördinaat r: Het kernprobleem van deze pagina, de integraal die φ als functie van u beschrijft: De integrand f (u): De derdegraads vergelijking g (u) in de noemer van f (u): De discriminant D van g (u) als functie van E² respectievelijk J²: E als functie van J en J als functie van E voor D = 0: De snelheid van de baksteen (voor een waarnemer die zich ver van het zwarte gat bevindt): De effectieve potentiaal: De extrema van de effectieve potentiaal: Vier hulpvariabelen om de nulpunten van de derdegraads vergelijking uit te rekenen: De waarden van deze hulpvariabelen voor dit specifieke probleem (deze pagina) zijn: Het nulpunt n₁ indien D < 0: Het nulpunt n₁ indien D = 0: Het raakpunt n_2/3 indien D = 0: De oplossing van de integraal voor D = 0 én n_2/3 < n₁: De oplossing van de integraal voor D = 0 én n_2/3 > n₁ én u < n_2/3: De oplossing van de integraal voor D = 0 én n_2/3 > n₁ én u > n_2/3: De drie nulpunten indien D > 0 (van links naar rechts): De impactparameter, de y-coördinaat waarop de baksteen aan komt vliegen vanuit r = ∞:

---

Samenvatting

1. Afleidingen van de vergelijkingen
2. Onderzoek van de functie
3. De effectieve potentiaal
4. Nulpunten in de noemer
5. Radiële inval
6. Invallende banen vanaf ‘ver weg’ (D < 0)
7. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D < 0)
8. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' < 0)
9. Stabiele banen vanaf ‘ver weg’ en ‘dichtbij’ (D = 0)
10. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D = 0, q'' > 0)
11. Invallende banen vanaf ‘dichtbij’ (D > 0)
12. Stabiele open banen (D > 0)
13. Stabiele gesloten banen (D > 0)
14. Belangrijke vergelijkingen
15. Samenvatting

Het kernprobleem van deze lange pagina is de integraal die φ als functie van u beschrijft: Nog afgezien van het feit dat het oplossen van deze integraal zeer problematisch is kent de noemer één of meerdere nulpunten die allemaal om een specifieke aanpak van het probleem vragen. De discriminant D van de derdegraads vergelijking in de noemer bepaalt het aantal nulpunten van die derdegraads vergelijking:

• D < 0: één nulpunt.
• D = 0: twee nulpunten,
• D > 0: drie nulpunten,

D < 0	D = 0	D > 0
Tabel 2

Er zijn twee parameters in het spel, de energie E (van de baksteen) en het impulsmoment J (van de baksteen). In het geval dat D = 0 kan ik E als functie van J schrijven of J als functie van E: Grafisch ziet dat er zo uit, voor de blauwe lijn geldt D = 0: Ik introduceerde een effectieve potentiaal: Ik vond voor de extrema van de effectieve potentiaal: Vergelijking (39) geeft r als functie van J, maar dat kan ik omschrijven naar J als functie van r: Door dit in te vullen in vergelijking (37) ontstaat: Dit voeg ik toe aan de grafiek van figuur 13. We leerden onderweg ook dat vergelijking (39), de extrema van de effectieve potentiaal, exact overeenkomt met (de reciproke van) het raakpunt n_2/3 (waar de integrand niet bestaat): Oftewel, de top van de potentiaalfunctie (de roze lijn in figuur 129), het ontstaan van een raakpunt (zie figuur 23) en het gelijk aan nul worden van de discriminant zijn allemaal rechtstreeks aan elkaar gekoppeld.

Hoe werkt dit uit in de praktijk? Voor D < 0 en E ≥ 1 komt de baksteen van ver weg en verdwijnt onherroepelijk in het zwarte gat, zie het rode gebied in onderstaande figuur (zie hoofdstuk 6 voor alle details). Voor D < 0 en E < 1 komt de baksteen van dichtbij en verdwijnt eveneens onherroepelijk in het zwarte gat, zie het rode gebied in onderstaande figuur (zie hoofdstuk 7 voor alle details). Indien D = 0, de blauwe lijn in bovenstaande figuur, dan kan de baksteen in theorie in een circulaire baan om het zwarte gat komen maar balanceert daarbij wel op de rand van stabiliteit. De minste of geringste verstoring, bijvoorbeeld een botsing met een zandkorrel, zal het lot van de baksteen bezegelen. De circulaire baan bevindt zich net wel of net niet aan de goede kant van de potentiaaltop. In onderstaande figuur komt de baksteen aanvliegen vanuit ver weg en eindigt in een circulaire baan, de blauwe lijn, maar de rode lijn is een circulaire baan van waaruit de baksteen in het zwarte gat stort. Zoals je ziet is de scheidslijn tussen beide banen minimaal (zie hoofdstuk 8, hoofdstuk 9 en hoofdstuk 10 voor alle details). De stabiele banen treden op voor D > 0. Bevindt de baksteen zich te dicht bij het zwarte gat dan gaat het alsnog mis (zie hoofdstuk 11), maar verder weg van het zwarte gat is de baan stabiel. Indien E ≥ 1 dan is de baan open, de baksteen komt van ver weg en verdwijnt daar uiteindelijk ook weer naar toe, zie het gele gebied in onderstaande figuur (zie hoofdstuk 12 voor alle details). In de buurt van het zwarte gat wordt de baksteen (sterk) afgebogen of maakt zelfs één of meerdere rondjes om het zwarte gat. Indien E < 1, zie het gele gebied in onderstaande figuur, dan is de baan gesloten (zie hoofdstuk 13 voor alle details). Ik zal even inzoomen. Deze gesloten banen precesseren, een relativistisch verschijnsel dat onbekend is in de klassieke mechanica. Dit alles brengt ons bij de afsluitende overzichtstabel.

Condities				Baan van de baksteen
J = 0				De baksteen valt radieel in het zwarte gat (0 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < ∞)
D < 0	E ≥ 1			De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘ver weg’ (0 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < ∞)
	E < 1			De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘dichtbij’ (n1 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < 1/n1)
D = 0	q'' < 0			De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘dichtbij’ (n1 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < 1/n1)
	q'' > 0	E ≥ 1	u > n2/3	De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘dichtbij’ (n2/3 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < 1/n2/3)
			u < n2/3	De baksteen eindigt in een baan om het zwarte gat vanaf ‘dichtbij’ (n1 < u < n2/3 oftewel 1/n2/3 < r < 1/n1)
		E < 1		De baksteen eindigt in een baan om het zwarte gat vanaf ‘ver weg’ (0 < u < n2/3 oftewel 1/n2/3 < r < ∞)
D > 0	u > n3			De baksteen eindigt in het zwarte gat vanaf ‘dichtbij’ (n3 < u < 1/Rs oftewel Rs < r < 1/n3)
	u < n2	E ≥ 1		De baksteen beweegt in een stabiele open baan om het zwarte gat (0 < u < n2 oftewel 1/n2 < r < ∞)
		E < 1		De baksteen beweegt in een stabiele gesloten baan om het zwarte gat (n1 < u < n2 oftewel 1/n2 < r < 1/n1)
Tabel 8