De Taylor-reeks van
f (x) = eax
De grafiek van f (x) = e
ax voor a = 0.95 (de rode lijn),
a = 1.00 (de groene lijn) en a = 1.05 (de blauwe lijn)
Om te beginnen ga ik eerst vijf
afgeleiden bepalen:
Vervolgens ga ik bij de functie en zijn
afgeleiden
de y-waarde bepalen voor x = 0:
De polynoom-coëfficiënten worden dan:
De regelmaat hierin is:
Hetgeen ons brengt bij deze reeks:
Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert
dan hebben we er niets aan.
De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term
voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in
absolute waarden gesproken uiteraard):
Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit:
Deze reeks convergeert dus altijd, maar daar hoort wel een kanttekening bij.
Het uitdoven van de termen begint namelijk pas wanneer n + 1 > | ax |, oftewel n > | ax | − 1.
Voor grote waarden van | x | kan het dus gebeuren dat er heel wat termen meegenomen moeten worden.
De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor a = 0.95 (de oranje lijn),
a = 1.00 (de paarse lijn) en a = 1.05 (de grijze lijn),
100 termen meegenomen