Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Vectoren, vraagstuk 66

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

Vectoren, vraagstuk 66

Het oppervlak S is de grafiek van de functie:

Het vectorveld v is gegeven door:

Geef een parametrisering van S.
Bereken een naar boven gerichte normaal op S (hoeft niet genormeerd te worden).
Bereken de volgende integraal, waarbij A is georiënteerd volgens de naar boven gerichte normaal:

De grafiek van f (x, y) = x + y + 1

Het vectorveld v

Geef een parametrisering van S.

Als we stellen dat:

Dan kunnen we het oppervlak S ook schrijven als:

Vervolgens kunnen we ook nog simpelweg stellen dat:

Waaruit volgt voor z:

De beschrijving van S wordt dan:
Bereken een naar boven gerichte normaal op S (hoeft niet genormeerd te worden).

We kunnen S nog anders opschrijven als volgt:

Want door dit uit te schrijven in componenten krijgen we weer:

Een normaalvector volgt dan uit het uitwendig product van de twee richtingsvectoren:

Of ik kan eerst de partiële afgeleiden bepalen:

Het uitwendig product van deze twee vectoren levert wederom een normaalvector op:

Hiervoor is gesteld dat:

Daarom kunnen we de partiële afgeleiden ook rechtstreeks bepalen naar x en y:

Het uitwendig product van deze twee vectoren levert ook in dit geval de volgende normaalvector op:

Ik ga de normaalvector nu uitrekenen:

De z-component is 1, dus altijd positief, dus n is altijd naar boven gericht.
Bereken de volgende integraal, waarbij A is georiënteerd volgens de naar boven gerichte normaal:

Omdat geldt dat:

Hierdoor kunnen we voor het vectorveld v ook schrijven:

De vector dA is (in dit geval) gelijk aan de normaalvector die we reeds berekend hebben:

Het inwendig product van deze twee vectoren levert op:

De uitwerking van de integraal wordt dan:

Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 67

Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 65

Overzichtspagina met vraagstukken

Vraagstukken xref voor de UT

De integraal van
f (x) = x/(ax − b)^1/2

De integraal van
f (x) = cos x/(1 − a² cos² x)²

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin x)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integralen van
f (x) = 1/x^p (a² + 1/x^{2p + 2})^1/2

Vectoren, vraagstuk 35

Vectoren, vraagstuk 80

Hoe vormt zich de Ricci-tensor?

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 − x)^1/2

De Taylor-reeksen van
f (x) = 1/(a ± x²)^1/2

De stelling van Green

Definities en eigenschappen van complexe getallen

Holomorfie van de functie
f (z) = tan z

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: inleiding

Afleiding van E = mc²

De Ricci-scalar van de Schwarzschild-metriek

Vraagstukken elektriciteit en magnetisme

De illusies die wij leven

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

Overzichtspagina wiskunde

Overzichtspagina natuurkunde

Overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026