Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Reeksontwikkeling

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

Reeksontwikkeling

Vergelijking

Taylor

We danken het aan de Engelse wiskundige Brook Taylor dat we nu weten dat een wiskundige functie ook te schrijven is als een polynoom, een functie met allemaal machten van x. Dit bereiken we door de functie telkens weer te differentiëren. Dat ziet er dan als volgt uit (we ontwikkelen vanuit het startpunt x = a en we sommeren over n = 0, 1, 2, 3, 4, enzovoort):

Vergelijking

Dit noemen we reeksontwikkeling. Hierin is f ⁿ de n^e afgeleide van f (x). Het kan handig zijn om de reeks rond een bepaald punt, x = a, te ontwikkelen maar doorgaans mag voor a gewoon nul gekozen worden:

Vergelijking

Voor een e-macht ziet dat er bijvoorbeeld als volgt uit (waaraan je ook kunt zien dat de e-macht zijn eigen afgeleide is):

Vergelijking

Dit helpt ons bij het integreren van deze functie:

Vergelijking

De integraal wordt dan:

Vergelijking

We hebben natuurlijk liever een beknopter antwoord, maar in dit computertijdperk is een oplossing zoals hierboven eigenlijk geen probleem meer. Wees er bij deze methode wel op bedacht of de reeks voor alle waarden van x werkt, dus dat de reeks altijd convergeert.

Integralen waarbij deze integratiemethode is toegepast:

Integrand	Primitieve
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking

Miniatuur

Naar de volgende integratiemethode: kwadrateren van de integraal

Miniatuur

Naar de vorige integratiemethode: overgaan naar een andere variabele

Miniatuur

Overzichtspagina met integratiemethoden

Miniatuur

Miniatuur

Machtsverheffen, worteltrekken, logaritme nemen

Miniatuur

Differentiëren

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x²/(−a² + x²)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = e^−ax²

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax)
(n = even)

Miniatuur

De integralen van
f (x) = 1/(a² + x²)ⁿ

Miniatuur

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

Miniatuur

Vraagstukken vectoren

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 45

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 90

Miniatuur

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 − x²)^1/2

Miniatuur

De convergentie van een reeks

Miniatuur

Bijzondere figuren

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = Re z/Im z

Miniatuur

Integreren van complexe functies

Miniatuur

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 9

Miniatuur

De relativistische bewegingsvergelijkingen

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026