Vectoren, vraagstuk 76
Gegeven het vectorveld:
Bereken:
Waarbij de kromme k het beginpunt (0, 0, 0) en eindpunt (1, 1, 1) heeft.
Hierbij wordt k gegeven door:
- Het lijnstuk rechtstreeks vanaf (0, 0, 0) naar (1, 1, 1).
- De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (0, 1, 0) en (0, 1, 1) naar (1, 1, 1).
- De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (1, 0, 0) en (1, 1, 0) naar (1, 1, 1).
-
De kromme met parametrisering:
-
De kromme met parametrisering:
Het vectorveld F
-
Het lijnstuk rechtstreeks vanaf (0, 0, 0) naar (1, 1, 1).
Eerst hebben we een parametrisering nodig van k. Als steunvector en richtingsvector gebruik ik:Daarmee wordt de parametrisering van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld ook schrijven als:
De afgeleide van de kromme wordt:
En dit is uiteraard gelijk aan de richtingsvector van de kromme. Het inwendig product F ∙ dr wordt dan:
Daarmee wordt de integraal:
-
De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (0, 1, 0) en (0, 1, 1) naar (1, 1, 1).
De kromme k bestaat nu uit drie verschillende lijnstukken, dus we doorlopen het hele verhaal nu driemaal. Voor het eerste deel gebruik ik als steunvector en richtingsvector:Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
En dit is uiteraard weer gelijk aan de richtingsvector. Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
Op naar deel twee, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:
Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
En tenslotte deel drie, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:
Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
En dat brengt ons bij het eindresultaat:
-
De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (1, 0, 0) en (1, 1, 0) naar (1, 1, 1).
De kromme k bestaat nu weer uit drie verschillende lijnstukken, dus we doorlopen het hele verhaal nu wederom driemaal. Voor het eerste deel gebruik ik als steunvector en richtingsvector:Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
En dit is uiteraard weer gelijk aan de richtingsvector. Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
Op naar deel twee, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:
Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
En tenslotte deel drie, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:
Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
En dat brengt ons bij het eindresultaat:
-
De kromme met parametrisering:
Uit de parametrisering van de kromme kan ik aflezen dat:
De grafiek van r (t) = (x = t, y = t2, z = t3)Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt dan:
Daarmee wordt de integraal:
-
De kromme met parametrisering:
Uit de parametrisering van de kromme kan ik aflezen dat:
De grafiek van r (t) = (x = t3, y = t2, z = t)Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt dan:
Daarmee wordt de integraal:
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 77
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 75
Overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
De integralen van
Inwendig product, uitwendig product en dyadisch product
Vectoren, vraagstuk 42
Vectoren, vraagstuk 87
Taylor-reeksen
De Taylor-reeks van
De convergentie van een reeks
De stelling van Green
Holomorfie van de functie
Holomorfie van de functie
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 6
De automobilist die door rood reed
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
Astronomie
De integraal van
De Witte Dag
De integraal van
De cycloïde
De minimale straal van een holle bol
Een planeettijdreismachine
De integralen van
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen