Vectoren, vraagstuk 77
Gegeven het scalarveld:
Bereken:
Waarbij de kromme k het beginpunt (0, 0, 0) en eindpunt (1, 1, 1) heeft.
Voor het vectorveld geldt:
Hierbij wordt k gegeven door:
- Het lijnstuk rechtstreeks vanaf (0, 0, 0) naar (1, 1, 1).
- De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (0, 1, 0) en (0, 1, 1) naar (1, 1, 1).
- De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (1, 0, 0) en (1, 1, 0) naar (1, 1, 1).
-
De kromme met parametrisering:
-
De kromme met parametrisering:
De grafiek van G (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xyz voor z = 0
De grafiek van G (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xyz voor z = 1
De grafiek van G (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xyz voor z = 2
De grafiek van G (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xyz voor z = 3
-
Het lijnstuk rechtstreeks vanaf (0, 0, 0) naar (1, 1, 1).
Ik reken eerst het vectorveld F uit:
Dit vectorveld is een gradiëntveld (een conservatief veld) en daarom maakt het niet uit via welke route (kromme) we van A naar B door dit veld bewegen. Deze integraal zal in alle gevallen hetzelfde antwoord op moeten leveren:
Het vectorveld FDat gaan we eens grondig narekenen. Eerst hebben we een parametrisering nodig van k. Als steunvector en richtingsvector gebruik ik:
Daarmee wordt de parametrisering van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld ook schrijven als:
De afgeleide van de kromme wordt:
En dit is uiteraard gelijk aan de richtingsvector van de kromme. Het inwendig product F ∙ dr wordt dan:
Daarmee wordt de integraal:
-
De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (0, 1, 0) en (0, 1, 1) naar (1, 1, 1).
De kromme k bestaat nu uit drie verschillende lijnstukken, dus we doorlopen het hele verhaal nu driemaal. Voor het eerste deel gebruik ik als steunvector en richtingsvector:Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
En dit is uiteraard weer gelijk aan de richtingsvector. Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
Op naar deel twee, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:
Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
En tenslotte deel drie, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:
Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
En dat brengt ons bij het eindresultaat:
-
De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (1, 0, 0) en (1, 1, 0) naar (1, 1, 1).
De kromme k bestaat nu weer uit drie verschillende lijnstukken, dus we doorlopen het hele verhaal nu wederom driemaal. Voor het eerste deel gebruik ik als steunvector en richtingsvector:Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
En dit is uiteraard weer gelijk aan de richtingsvector. Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
Op naar deel twee, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:
Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
En tenslotte deel drie, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:
Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:
Hieruit kan ik aflezen dat:
Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt:
Daarmee wordt de integraal:
En dat brengt ons bij het eindresultaat:
-
De kromme met parametrisering:
Uit de parametrisering van de kromme kan ik aflezen dat:
De grafiek van r (t) = (x = t, y = t2, z = t3)Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt dan:
Daarmee wordt de integraal:
-
De kromme met parametrisering:
Uit de parametrisering van de kromme kan ik aflezen dat:
De grafiek van r (t) = (x = t3, y = t2, z = t)Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:
De afgeleide van de kromme wordt:
Het inwendig product F ∙ dr wordt dan:
Daarmee wordt de integraal:
Inderdaad hebben we in alle gevallen hetzelfde antwoord verkregen voor de integraal, namelijk: 4.
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 78
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 76
Overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
Inwendig product, uitwendig product en dyadisch product
Vectoren, vraagstuk 42
Vectoren, vraagstuk 87
Taylor-reeksen
De Taylor-reeks van
De convergentie van een reeks
De stelling van Green
Holomorfie van de functie
Integreren van complexe functies
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 15
Afleiding van de Reissner-Nordström-oplossing
De pijn als je in een zwart gat valt
Het modelleren van de dichtheid van de Zon
De Boltzmann-verdeling
De illusie van de grote gevaren
De tweelingparadox
De energie van gravitatiestraling
Een dag zonder verjaardagen
Het vermogen van gravitatiestraling
Tijdsvertraging van een lichtstraal (2e orde benadering)
Tijdsvertraging van een lichtstraal (1e orde benadering)
Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein
De integralen van
Een andere manier van leven
Een reeks afsplitsen van een functie
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen