Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

Vectoren, vraagstuk 78

Onderzoek van de volgende vectorvelden of ze conservatief zijn door na te gaan of er een potentiaalfunctie is:

Het vectorveld v
Een vectorveld is conservatief indien het de gradiënt is van een scalarveld:

In een dergelijk geval is het scalarveld G de potentiaalfunctie van v. Deze potentiaalfunctie gaan we nu opzoeken. Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar x volgt:

Door integratie verkrijg ik:

Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar x kan het niet anders dan dat c enkel een functie van y en z is:

Voor G kan ik dus schrijven:

Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar y volgt:

Door integratie verkrijg ik:

Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar y kan het niet anders dan dat c enkel een functie van x en z is:

Een deel van deze functie zijn we hiervoor al tegengekomen, namelijk zx, en de rest kan dan enkel nog een functie van z zijn:

Voor G kan ik nu dus schrijven:

Tenslotte volgt uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar z:

Door integratie verkrijg ik:

De x-y-z-constructies die hier in staan zijn helemaal in overeenstemming met wat we al gevonden hadden voor G. De constante c is in dit geval dus een ‘gewoon’ getal (zoals het zou moeten zijn). De uiteindelijke beschrijving van het scalarveld is:

Waarmee aangetoond is dat het veld v conservatief is.
Het vectorveld v
We gaan opnieuw de procedure doorlopen die we hiervoor gevolgd hebben om de potentiaalfunctie van w te vinden. Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar x volgt:

Door integratie verkrijg ik:

Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar x kan het niet anders dan dat c enkel een functie van y en z is:

Voor G kan ik dus schrijven:

Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar y volgt:

Door integratie verkrijg ik:

Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar y kan het niet anders dan dat c enkel een functie van x en z is:

Een deel van deze functie zijn we hiervoor al tegengekomen, namelijk zx, en de rest kan dan enkel nog een functie van z zijn:

Voor G kan ik nu dus schrijven:

Tenslotte volgt uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar z:

Door integratie verkrijg ik:

Maar nu is er een kink in de kabel. De x-y-z-constructies die hier in staan zijn niet in overeenstemming met wat we al gevonden hadden voor G (de term xz tegenover de term −xz). Dit veld w is daarom niet conservatief.