Vectoren, vraagstuk 42
-
Maak een schets van D.
Een plaatje van het integratiegebied D ziet er als volgt uit, allereerst bekijken we de doorsnede y-z voor enkele x-waarden (x = 0, x = 1, x = √2):Dit is de doorsnede x-y voor enkele z-waarden (z = 0.01, z = 1, z = 4):
Het is een soort omgekeerde kegel (met de punt dus naar beneden) met de top in de oorsprong (dus de straal van de kegel is nul voor z = 0) en een straal van √2 voor z = 2. De wanden van de kegel zijn niet recht maar worden beschreven door een parabool. We hebben dus niet te maken met een kegel maar met een paraboloïde. Datgene wat groen is is het integratiegebied (alleen het eerste kwadrant, dus het is een kwart paraboloïde).

Een paraboloïde -
Schrijf de volgende integraal
als herhaalde integraal:
Alle grenzen zijn al gegeven, en door de integratievolgorde om te keren wordt de integraal:
Het is natuurlijk wel leuk om de integraal dan ook ‘effe’ uit te rekenen:
De oplossing van de integraal van (2 − x2)1/2 kun je vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van x2 (2 − x2)1/2 kun je ook vinden in de tabel met integralen. Het eindresultaat wordt dan:
Dit is waarschijnlijk veel handiger in cilindercoördinaten:
Voor de bovengrens van r geldt:


Waarmee de integratiegrenzen worden:
De integraal wordt dan:

Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 43
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 41
Overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 6
Vectoren, vraagstuk 51
Covariante - en contravariante componenten van een vector
Taylor-reeksen
De Taylor-reeks van
Een reeks afsplitsen van
Het getal e
Holomorfie van de functie
Relativiteitstheorie basic, hoofdstuk 1: snelheden
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 22
De relativistische rotatie-energie van een holle bol
Het spectrum van een zwart gat
De omtrek van een planeetbaan
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
De Einstein-Rosen-brug
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
De buitenkant van een wormgat
De integraal van
De astroïde
Het waarneembare universum
Wat is een wormgat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen