Daarvoor hebben we wat gereedschap nodig. Ik pak de Lorentz-transformaties erbij voor twee stelsels, P en Q, die met een snelheid v ten opzichte van elkaar bewegen:

Hierin is de factor γ: Van daaruit kun je formules opstellen voor het relativistisch optellen van snelheden. Oftewel, wat voor een waarnemer in het Q-stelsel de snelheid is van iets dat zich binnen het P-stelsel in de x-richting voortbeweegt, terwijl beide stelsels met een snelheid v ten opzichte van elkaar bewegen (ook in de x-richting), en vice versa:

Indien een waarnemer een bron nadert die golven genereert (bijvoorbeeld geluid of licht) dan zal deze waarnemer een hogere frequentie waarnemen dan een stilstaande waarnemer. Bij verwijdering van de bron gebeurt precies het omgekeerde en wordt een lagere frequentie waargenomen. Dit effect heet het Doppler-effect, genoemd naar de Oostenrijker Christian Andreas Doppler, en is vooral bekend van een treinpassagier die een spoorwegovergang nadert waar een waarschuwingsbel rinkelt.

Stel dat de bron geluid uitzendt met een frequentie f_b = 10 Hertz, dit betekent dat er iedere seconde 10 geluidsgolven de geluidsbron verlaten en dat er bij een stilstaande waarnemer iedere seconde 10 geluidsgolven zijn oren binnenkomen. De snelheid van het geluid in een gas is afhankelijk van enkele factoren, dit zijn de temperatuur, de massa van de moleculen en de warmtecapaciteit, maar laten we voor het gemak de snelheid van het geluid in lucht constant stellen op v_g = 300 m/s. We kunnen dan de golflengte berekenen:

Stel dat de waarnemer richting de bron gaat bewegen met v_w = 60 m/s dan hoort hij iedere seconde 10 geluidsgolven maar hij ‘pakt’ ook gelijk twee golven mee die hij normaliter pas de volgende seconde zou horen. De frequentie die hij hoort is in dit geval dus geen 10 Hz maar 10 + 2 = 12 Hz. En indien hij met 60 m/s de andere kant op zou bewegen dan mist hij twee golven die hem pas de volgende seconde inhalen, dus hij hoort een frequentie van 10 − 2 = 8 Hz. In formulevorm, wanneer waarnemer W richting de geluidsbron gaat:

En wanneer de waarnemer zich van de bron verwijdert: Merk op dat in dit laatste geval de waarnemer niets meer hoort wanneer hij zich beweegt met een snelheid: Hij beweegt zich dan voor het geluid uit en het geluid is niet bij machte hem in te halen!

In eerste instantie kijk je hier waarschijnlijk vreemd van op, maar wanneer de bron beweegt in plaats van de waarnemer dan wordt het verhaal anders. In een afstand van 300 meter zitten bij een stilstaande bron 10 geluidsgolven ‘opgeborgen’, oftewel de golflengte is 30 meter. Echter, wanneer de bron de andere kant op beweegt met een snelheid van 60 m/s dan worden die 10 geluidsgolven tijdens het uitzenden door de bron uitgesmeerd over een afstand van 300 + 60 = 360 meter. En wanneer de bron in dezelfde richting als het geluid beweegt dan worden de geluidsgolven in elkaar gedrukt en bevinden de 10 geluidsgolven zich in een afstand van 300 − 60 = 240 meter. De golflengtes worden in dit voorbeeld dus 360/10 = 36 meter respectievelijk 240/10 = 24 meter. In formulevorm ziet dit er zo uit: Dit gaan we even omrekenen naar frequenties waarbij we gebruik maken van: Hiermee wordt vergelijking (8): Oftewel, wanneer de geluidsbron richting W gaat: En wanneer de bron zich van de waarnemer verwijdert: Merk op dat in het eerste geval de noemer van de breuk nul wordt wanneer de bron beweegt met:

De golven worden dan allemaal ‘op een hoop geduwd’ en vormen een barrière, de geluidsbarrière!

Ik pak de vergelijkingen (5) en (6) samen en schrijf ze iets anders op: Voor lage snelheden is de tweede orde term in de teller te verwaarlozen en geldt: Hetgeen overeenkomt met (11) en (12), dus voor lage snelheden (ten opzichte van de geluidssnelheid) zijn (5) en (6) bij goede benadering gelijk aan respectievelijk (11) en (12).

Hoe zit dit met lichtgolven? Daar heeft Einstein uiteraard over nagedacht. Een golf g heeft een vorm die we wiskundig sinus noemen, afgekort sin:

En dat ziet er zo uit: De wiskundige sinus loopt van −1 tot +1 maar kan in de praktijk natuurlijk iedere waarde aannemen. We vermenigvuldigen daarom de sinus met de werkelijke topwaarde of amplitude van de golf, en deze amplitude noem ik u: De waarde van de sinus is een functie van een willekeurige hoek φ: Gedurende de periodetijd T van de golf doorloopt de hoek φ een hele cirkel hetgeen overeenkomt met 360 graden = 2π radialen en daarom kunnen we ook schrijven: De golf is uiteraard ooit een keer begonnen, dit moment noemen we t₀: Ergens is een bron die de golven uitzendt. De golven zijn bij de waarnemer begonnen toen de afstand x tot de bron door de golven overbrugd was: Omdat we het nu over lichtgolven hebben geldt: Waardoor (21) wordt: Zo worden de golven waargenomen door een waarnemer W₁ die stilstaat ten opzichte van de bron. Nu komt er een tweede waarnemer, W₂, voorbij met een snelheid +v ten opzichte van W₁ en hij ziet de golven als volgt: Met behulp van de Lorentz-transformaties (1a) en (1b) kunnen we dit omschrijven naar het referentiestelsel van W₁: We hebben nu weer iets staan dat van dezelfde vorm is als (23). Als we ons richten op het deel achter de sinus dan moet dus gelden: Omdat: Dan wordt (26):

We kunnen ons rijtje relativistische waarnemingen nu uitbreiden met het relativistische Doppler-effect:

Dit is ook te schrijven als (zie vergelijking (28)): Merk op dat voor lage snelheden (γ ≈ 1) vergelijking (29) overeenkomt met (6) en na tekenwisseling overeenkomt met (5). Vergelijking (30) gaat voor lage snelheden over in (12) en na tekenwisseling in (11) terwijl (29) en (30) identiek zijn. Het totale Doppler-effect pakt Einstein samen in één vergelijking!

Tot slot wil ik nog opmerken dat de snelheid positief is indien de bron van de elektromagnetische golven zich verwijdert van de waarnemer en de snelheid is negatief indien bron en waarnemer elkaar naderen. In het laatste geval worden in de vergelijkingen (29) en (30) de plussen minnen en vice versa (of beter gezegd: β wordt negatief).