Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Vraagstukken relativiteitstheorie

Vraagstukken relativiteitstheorie

Einstein en Oppenheimer

1		Waarom merk je in het dagelijks leven niets van de effecten van de relativiteitstheorie?
2		Hoe bereken je de ontsnappingssnelheid, de snelheid die nodig is om te ontsnappen aan het zwaartekrachtveld van een hemellichaam?
3		Een meertrapsraket wordt gelanceerd. Wanneer de eerste trap is uitgebrand heeft de raket een snelheid v. De eerste trap wordt afgestoten en de tweede trap wordt ontstoken. Wanneer de tweede trap is uitgebrand heeft de raket een snelheid v ten opzichte van de eerste trap. Vervolgens wordt de tweede trap afgestoten en de derde trap wordt ontstoken. Na de derde trap komt de vierde trap en zo blijft dit proces zich herhalen. Wat is de snelheid van de raket ten opzichte van de lanceerplaats wanneer de tweede trap is uitgebrand? En wanneer de derde trap is uitgebrand? En wat is de snelheid na n trappen? Wat wordt de uiteindelijke snelheid van de raket?
4		Een raket vliegt door een tunnel. De tunnel en de raket zijn even lang. Wanneer de raket in de tunnel is vuurt iemand gelijktijdig twee kanonnen af die bij de ingang en de uitgang van de tunnel staan opgesteld. Wat gebeurt er met de raket?
5		Een vrouw houdt een spiegel in haar hand. Zij houdt de spiegel met gestrekte arm voor zich, op een afstand van 0.75 meter, en zij ziet zichzelf in de spiegel. Vervolgens begint zij heel hard te rennen en op een gegeven moment heeft zij een snelheid van 0.9 maal de lichtsnelheid. Hoe ziet zij zichzelf in de spiegel of wat ziet zij überhaupt in de spiegel?
6		Teken boven elkaar drie rijen met drie punten, of naast elkaar drie kolommen met drie punten, dat komt op hetzelfde neer. Je hebt dus een vierkant gevuld met negen punten. Kun je, zonder de pen van het papier te halen, middels vijf rechte lijnen alle negen punten verbinden? En kun je het ook met vier rechte lijnen (zonder de pen van het papier te halen)? En kun je het ook met drie rechte lijnen (zonder de pen van het papier te halen)? En kun je het ook door slechts één rechte lijn te trekken (zonder de pen van het papier te halen)?
7		De snelheid in de ‘gewone’ driedimensionale wereld is de vector v en in de vierdimensionale ruimtetijd de vector u. Druk de componenten van de ene vector uit in de componenten van de andere vector en vice versa, en geef de absolute waarden van beide vectoren. We beperken ons tot de speciale relativiteitstheorie.
8		Laat zien dat het specifiek de invariante lichtsnelheid is die voor tijddilatatie zorgt.
9		Laat zien hoe je een vierdimensionale wereldlijn tekent (samenstelt) en dat de wereldlijn voor een lichtstraal altijd onder dezelfde hoek staat.
10		Waarom kunnen muonen die hoog in de atmosfeer ontstaan toch het aardoppervlak bereiken?

11		Laat zien dat absolute gelijktijdigheid niet bestaat en dat relatieve beweging onvermijdelijk leidt tot tijddilatatie en lengtecontractie.
12		Leid de Lorentz-transformaties af.
13		Leid uit de Lorentz-transformaties de formule af voor het optellen van snelheden.
14		Leid ’s werelds beroemdste formule af: E = mc².
15		Laat zien dat de schaalverdeling in een ruimtetijddiagram niet relevant is zolang lichtstralen maar getekend worden onder een hoek van 45 graden.
16		Laat zien dat de twee verschillende vergelijkingen voor het Doppler-effect (voor een bewegende waarnemer respectievelijk een bewegende bron) relativistisch gezien identiek zijn.
17		Hoe transformeert de amplitude van elektromagnetische golven indien waargenomen vanuit een ander stelsel dat met een constante snelheid beweegt?
18		Een draad waar een elektrische stroom doorheen loopt genereert een magnetisch veld en dit veld oefent een kracht uit op bewegende elektrische ladingen. Echter, een meebeweger van zo’n elektrische lading kan stellen dat hij/zij niet beweegt (maar dat de draad beweegt) en dat het magnetische veld daarom geen vat heeft op de elektrische lading. Toch wordt er onmiskenbaar een kracht uitgeoefend op de bewegende elektrische lading. Hoe zit dat?
19		Leid op de meest simpele manier de Lorentz-factor γ af.
20		Hoe zou je de lengtecontractie van een rijdende trein kunnen bepalen?
Einstein en Chaplin
21		Een automobilist moet voor de rechter verschijnen in verband met rijden door rood licht. De automobilist pleit onschuldig te zijn, omdat door het Doppler-effect het rode stoplicht voor hem groen leek te zijn. Wat gaat de rechter, die relativistisch onderlegd is, hiervan vinden?
22		Wat zijn de relativistische transformatievergelijkingen voor impuls?
23		Hoe transformeert de energie van elektromagnetische golven indien waargenomen vanuit een ander stelsel dat met een constante snelheid beweegt? Ga uit van een vacuüm omgeving.
24		Bereken de relativistische effecten op de bewegingsparameters (afstand, snelheid, versnelling en tijd) in het geval van niet-constante snelheden (versnellingen) en maak daarbij alleen gebruik van formules uit de speciale relativiteitstheorie. Ga ervanuit dat er geen (significante) massa’s in de buurt zijn.
25		Stel je hebt een SuperLamborghini waarmee je een heel jaar lang kunt versnellen met een versnelling van één g. Wat is dan je snelheid en je afgelegde weg? En volgens de toeschouwers? En wat zijn de wederzijdse meningen over de verstreken tijd?
26		Kun je, met het juiste aandrijfmechanisme, in theorie binnen een mensenleven het hele heelal doorkruisen?
27		Wat is geodetisch?
28		Leid de Schwarzschild-oplossing af.
29		Leg het equivalentieprincipe uit.
30		Leid de Reissner-Nordström-oplossing af.
Restaurant in Berlijn
31		Leid de differentiaalvergelijking af van een geodetische lijn rondom een puntmassa, uitgaande van de Schwarzschild-oplossing.
32		Onderzoek de cirkelvormige banen om een centrale massa, uitgaande van de differentiaalvergelijking van een geodetische lijn rondom die puntmassa.
33		Bereken, uitgaande van de differentiaalvergelijking van een geodetische lijn rondom een puntmassa, de periheliumprecessie van een planeet (in een eerste orde benadering).
34		Bereken, uitgaande van de differentiaalvergelijking van een geodetische lijn rondom een puntmassa, de periheliumprecessie van een planeet (in een tweede orde benadering).
35		Wat zijn Eddington-Finkelstein-coördinaten en wat kun je er mee?
36		Bereken alle Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek.
37		De kapitein van een ruimteschip stuurt vanaf de achterkant van zijn schip, waar hij zich bevindt, een klok naar de voorkant van het schip. Hoe lang duurt dit voor een waarnemer die met de klok meebeweegt, oftewel, hoeveel tijd verstrijkt er op de klok? En hoeveel tijd verstrijkt er op het horloge van de kapitein? En hoeveel tijd verstrijkt er voor een knappe vrouw die dit hele gebeuren gade slaat? Verwaarloos de versnelling van de klok en stel de lichtsnelheid op 300000 km/s.
38		Bereken de relativistische rotatie-energie van een holle bol.
39		Bereken de relativistische rotatie-energie van een massieve homogene bol.
40		Bereken het relativistische impulsmoment van een holle bol.
Einstein en Rabindranath
41		Bereken het relativistische impulsmoment van een massieve homogene bol.
42		Het klassieke wereldbeeld (lees: de wereld volgens Newton) is een limietgeval van het relativistische wereldbeeld (lees: de wereld volgens Einstein). Hoe zit dat precies?
43		Wat zijn de relativistische transformatievergelijkingen voor krachten?
44		Leid op verschillende manieren de relativistische transformatievergelijking af voor versnelling.
45		Laat zien dat de magnetische kracht ‘slechts’ een relativistisch bijverschijnsel is van de elektrische kracht.
46		Leid de formule van Heaviside af door enkel en alleen gebruik te maken van relativistische transformaties en de wet van De Coulomb.
47		Leid de Lorentz-transformaties af zonder gebruik te maken van de invariantie van de lichtsnelheid.
48		Leid de vergelijking af voor het relativistisch optellen van twee snelheden zonder gebruik te maken van de invariantie van de lichtsnelheid.
49		Stel dat je niet weet dat de lichtsnelheid de maximale snelheid is. Hoe zou je er dan toch achter kunnen komen dat er een maximale snelheid is?
50		Hoe weet je dat de Lorentz-transformaties lineair moeten zijn?
Straatnaam in Sevilla
51		Er wordt altijd wel zo gemakkelijk gezegd dat wanneer een waarnemer met een snelheid +v beweegt ten opzichte van een andere waarnemer dat deze laatste dan beweegt met een snelheid −v ten opzichte van de eerste. Maar is dat eigenlijk wel zo?
52		Beschrijf in detail een hypothetische relativistische ruimtereis naar het sterrenstelsel Andromeda.
53		Geef een overzicht van alle relativistische transformatievergelijkingen.
54		Schrijf de vergelijkingen die de algemene relativiteitstheorie beschrijven volledig uit in componenten van de metrische tensor.
55		Bereken de kinetische energie van een voorwerp.
56		Schrijf de Schwarzschild-metriek om van bolcoördinaten naar isotrope coördinaten.
57		Laat zien dat de Schwarzschild-oplossing een oplossing is van de vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie.
58		Bereken alle componenten van de Ricci-tensor voor de Schwarzschild-metriek.
59		Bereken de Ricci-scalar voor de Schwarzschild-metriek.
60		Wat maakt een zwart gat nou eigenlijk tot een zwart gat?
Einstein met kat
61		Licht heeft de maximale snelheid die mogelijk is in ons universum en die snelheid is alleen bereikbaar voor ‘dingen’ die, net als het licht, massaloos zijn. Met andere woorden, licht is sneller dan alles wat wél massa heeft. Toch schijnt het zo te zijn dat je een lichtstraal wel voor kunt blijven (vertelde iemand mij laatst). Hoe komt dat dan, dat die lichtstraal je niet kan inhalen? De lichtstraal is toch altijd sneller?
62		Leid de energie-impuls-relatie af.
63		Iedereen zegt wel zo gemakkelijk “zwaartekracht is ruimtetijdkromming”, maar wanneer ik iets laat vallen dan valt dat ‘iets’ gewoon recht naar beneden. Waar zit dan die ruimtetijdkromming, hoe manifesteert die zich?
64		Het heelal dijt uit. Dat leiden we af uit het feit dat (nagenoeg) alles in het universum zich van ons verwijdert, maar dat is toch raar? Of heel toevallig? En iemand ‘ergens verderop’ in het heelal ziet dan toch van alles op zich afkomen?
65		Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, wat is dan de snelheid van de baksteen op het moment dat die de horizon passeert bezien vanuit mij?
66		Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, hoe lang duurt het dan totdat de baksteen de horizon passeert bezien vanuit mij?
67		Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, wat is dan de snelheid van de baksteen op het moment dat die de horizon passeert bezien vanuit een waarnemer die met de baksteen meebeweegt?
68		Waarom heet een zwart gat eigenlijk een “zwart gat”?
69		Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, wat is dan de versnelling van de baksteen op het moment dat die de horizon passeert bezien vanuit mij?
70		Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, wat is dan de versnelling van de baksteen op het moment dat die de horizon passeert bezien vanuit een waarnemer die met de baksteen meebeweegt?
Restaurant in Wenen
71		Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, hoe lang duurt het dan totdat de baksteen de horizon passeert bezien vanuit een waarnemer die met de baksteen meebeweegt?
72		Bereken alle mogelijke banen van een baksteen die ik naar een niet-roterend zwart gat gooi.
73		Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, wat is dan de snelheid van de baksteen op het moment dat die de horizon passeert bezien vanuit een stationaire waarnemer in de buurt van het zwarte gat?
74		Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, wat is dan de versnelling van de baksteen op het moment dat die de horizon passeert bezien vanuit een stationaire waarnemer in de buurt van het zwarte gat?
75		In een zwart gat vallen, doet dat pijn?
76		Geef praktische voorbeelden van E = mc².
77		Geef een simpele afleiding van de Unruh-temperatuur.
78		Wat is de oppervlaktezwaartekracht van een zwart gat?
79		Eerder had je het over spaghettificatie die optreedt wanneer je in een zwart gat valt. Waar begint die spaghettificatie dan, begint die al voor het passeren van de horizon?
80		Geef een simpele afleiding van de Hawking-straling.
Bedrijf in Groningen
81		Indien een zwart gat Hawking-straling uitzendt dan zal het zwarte gat uiteindelijk verdwijnen, verdampen als het ware. Hoe lang duurt dat?
82		Het verdampen van een zwart gat schijnt te eindigen met een enorme explosie, hoe komt dat?
83		Wanneer een zwart gat verdampt en aan het einde explodeert, kunnen we dat dan detecteren? Heeft dat een bepaald karakteristiek spectrum? En kunnen we het überhaupt detecteren of is het net als het zwarte gat zelf onzichtbaar?
84		Stel dat een ruimteschip met bijna de lichtsnelheid vliegt en het botst op zoiets onbenulligs als een zandkorrel, wat gebeurt er dan?
85		Leid de differentiaalvergelijking af van de geodetische lijn van een lichtstraal rondom een puntmassa, uitgaande van de Schwarzschild-oplossing.
86		Bereken, uitgaande van de differentiaalvergelijking van de geodetische lijn van een lichtstraal rondom een puntmassa, de afbuiging van die lichtstraal (in een eerste orde benadering).
87		Bereken, uitgaande van de differentiaalvergelijking van de geodetische lijn van een lichtstraal rondom een puntmassa, de afbuiging van die lichtstraal (in een tweede orde benadering).
88		Bereken de afbuiging van een lichtstraal, onder invloed van de zwaartekracht, zoals Einstein dat gedaan heeft.
89		Bereken de vertraging die een lichtstraal oploopt tijdens het passeren van een massa (in een eerste orde benadering).
90		Bereken de vertraging die een lichtstraal oploopt tijdens het passeren van een massa (in een tweede orde benadering).
De Eidgenössische Technische Hochschule (ETH) in Zürich, de universiteit waar Einstein heeft gestudeerd
91		Bereken het vermogen dat twee hemellichamen, die om elkaar heen draaien in een elliptische baan, uitzenden middels zwaartekrachtgolven. Ga ervanuit dat het zwaartekrachtveld zwak is en dat de snelheden niet-relativistisch zijn (v c).
92		Bereken de energie die twee hemellichamen, die om elkaar heen draaien in een elliptische baan, uitzenden middels zwaartekrachtgolven: als functie van de hoek, en gemiddeld per omloop. Ga ervanuit dat het zwaartekrachtveld zwak is en dat de snelheden niet-relativistisch zijn (v c).
93		Hoe zit dat nou met die tweelingparadox? Leg dat eens uit.
94		Wat is een wormgat? Wat kun je ermee en wat houdt ons tegen om er ook daadwerkelijk eentje te maken?
95		Je hoort regelmatig over het ‘waarneembare universum’. Wat bedoelen ze daarmee? Wanneer ik ’s nachts omhoog kijk dan kan ik toch gewoon alles zien in principe? En indien ik zou vertrekken in een ruimteschip dan kan ik in principe toch gaan en staan waar ik wil?
96		Dat gebied tussen de monden van een wormgat, en aan de buitenkant van de keel, wat of waar is dat?
97		Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, hoe lang duurt het dan totdat de baksteen de horizon passeert bezien vanuit een stationaire waarnemer in de buurt van het zwarte gat?
98		Bespreek de Einstein-Rosen-brug, en met name de eventuele tekortkomingen.
99		Leid de formule af voor gravitationele rood-/blauwverschuiving.
100		Stel dat we een oneindig geavanceerde beschaving zijn (dus alles wat niet verboden is dat kunnen we), hoe zouden we dan een planeet in kunnen zetten als tijdreismachine?

101		Wat is de minimale straal die een holle bol kan hebben, zodat de bol nog net niet implodeert (en instort tot een zwart gat)? Ga uit van een perfect homogene ideale holle bol.