Vectoren, vraagstuk 84
S is het oppervlak van de eenheidsbol met straal 1 en de oorsprong als middelpunt.
Het vectorveld w is gegeven door:
Bereken:
- Rechtstreeks.
- Met behulp van de stelling van Gauss.
Het vectorveld w
-
Rechtstreeks.
In Cartesische coördinaten wordt een bol beschreven door:Omdat we hier te maken hebben met een eenheidsbol geldt dus:
Het feit dat we te maken hebben met een boloppervlak nodigt uit om over te gaan op bolcoördinaten:
Met de kennis dat ρ = 1 volgt hieruit als parametrisering voor S:
Nu bepaal ik de partiële afgeleiden van S:
Via het uitwendig product kan ik hiermee dA berekenen:
Uit de parametrisering van S kan ik x, y en z aflezen en daarmee het vectorveld schrijven als:
Nu bereken ik het inwendig product w ∙ dA en dat verbouw ik gelijk tot iets dat een beetje fatsoenlijk te integreren is:
De grenzen van de bol zijn:
Dan wordt de integraal:
De oplossing van de integraal van cos2 x kun je vinden in de tabel met integralen, de oplossing van de integraal van cos4 x kun je vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van sin2 x kun je ook vinden in de tabel met integralen.
-
Met behulp van de
stelling van Gauss.
Volgens meneer Gauss geldt ook voor deze bol (B) de stelling van Gauss:
kennen we als volgt:
Dan wordt het inwendig product
∙ w:
Hier ben ik in de laatste stap weer overgegaan naar bolcoördinaten (en ρ dient nu wel meegenomen te worden als variabele omdat we het volume van de bol gaan integreren). In bolcoördinaten geldt voor een volumestukje dV:
De grenzen van de bol zijn:
Dan wordt de integraal:
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 85
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 83
Overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 12
Vectoren, vraagstuk 57
De Taylor-reeks van
De Taylor-reeks van
Een reeks afsplitsen van
Getallen
Holomorfie van de functie
Relativiteitstheorie
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 20
Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek
De verdamptijd van een zwart gat
Periheliumprecessie als gevolg van een oblate ster
Afleiding van de algemene golfvergelijking
De integraal van
De Witte Dag
De integraal van
De cycloïde
De minimale straal van een holle bol
Een planeettijdreismachine
De integralen van
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen