Alle deeltjes, reëel of virtueel, zijn, de naam zegt het al, deeltjes. En deeltjes manifesteren zich als golven, of netter gezegd: als excitaties in het kwantumveld. Laten we eens een dergelijke golf (een deeltje dus) gaan beschouwen door de ogen van een versnellende waarnemer. Het bovenstaande plaatje toont de golf, het is een gewone sinus met een bepaalde frequentie. En ergens bevindt zich een waarnemer, het paarse vierkantje, die versnelt ten opzichte van de golf.

Die waarnemer neemt de frequentie van de golf waar met een Doppler-verschuiving:

Hierin is β de relatieve snelheid (de snelheid als fractie van de lichtsnelheid): Voor de versnellende waarnemer is die snelheid uiteraard niet constant, maar neemt toe met de tijd volgens (voor de afleiding zie deze pagina): Voor het gemak schrijf ik even: Nu ga ik met die tangens hyperbolicus knutselen: Ik vermenigvuldig links en rechts met 2π: Vervolgens ga ik de fasehoek uitrekenen door, zoals het hoort, de hoeksnelheid te integreren naar de tijd: In complexe e-machtnotatie komen we dan tot het volgende signaal: Hierin is A de amplitude van het signaal.

De volgende stap is om hierop een Fourier-transformatie uit te voeren zodat ik het spectrum van het signaal krijg:

Vervolgens neem ik de absolute waarde én het kwadraat van dit spectrum én ik middel het uit zodat ik de spectrumdichtheid vind: Deze integraal zoek ik op in de tabel met integralen en dat brengt ons bij dit resultaat: Merk op dat de oorspronkelijke frequentie van de golf, de frequentie zoals die wordt waargenomen door een waarnemer die meebeweegt met de golf, helemaal niet meer voorkomt in het antwoord, zoals het hoort, terwijl die frequentie wel in de integraal staat.

Ter vergelijking zet ik hier de stralingswet van Planck onder:

Dat rechter stuk noemen we de Planck-factor: Met iets andere ingrediënten staat die Planck-factor ook helemaal rechts in vergelijking (11). Dat leidt logischerwijs naar de volgende stap: de exponenten van de e-machten in de Planck-factor aan elkaar gelijk stellen: Zo komen we tot het spectaculaire resultaat dat een versnellende waarnemer een deeltje, ook een virtueel deeltje, registreert als ‘iets’ met een hele echte reële temperatuur!

Ik raadpleeg de tabel met fysische gegevens:

Constante van Boltzmann Boltzmann	k	1.380649 ∙ 10−23	J/K = kg m2/(s2 K)
Constante van Planck Planck	h	(exact) 6.62607015 ∙ 10−34	kg m2/s
	h/(2π)	1.054571817 ∙ 10−34	kg m2/s
Lichtsnelheid	c	(exact) 2.99792458 ∙ 108	m/s
Pi	π	3.1415926535897932384626433832795028841971 (voor meer decimalen zie deze pagina)

Waarna een rekenmachine mij vertelt:

Deze temperatuur, de temperatuur van het vacuüm zoals waargenomen door een versnellende waarnemer, staat nu in de boeken als de Unruh-temperatuur en is recht evenredig met de versnelling van de waarnemer.

Oftewel, het vacuüm van de inertiale (= ‘stilstaande’) waarnemer ‘ziet’ er voor de versnellende waarnemer uit als een warm gas van vele deeltjes in thermisch evenwicht.