Afleiding van de Unruh-temperatuur
Geef een simpele afleiding van de Unruh-temperatuur.
Alle deeltjes, reëel of virtueel, zijn, de naam zegt het al, deeltjes.
En deeltjes manifesteren zich als golven, of netter gezegd: als excitaties in het kwantumveld.
Laten we eens een dergelijke golf (een deeltje dus) gaan beschouwen door de ogen van een versnellende waarnemer.
Het bovenstaande plaatje toont de golf, het is een gewone
sinus met een bepaalde frequentie.
En ergens bevindt zich een waarnemer, het paarse vierkantje, die versnelt ten opzichte van de golf.
Die waarnemer neemt de frequentie van de golf waar met een
Doppler-verschuiving:
Hierin is de plus of de min van toepassing afhankelijk van nadering of verwijdering van bron en waarnemer,
en β is de relatieve snelheid (de snelheid als fractie van de lichtsnelheid):
Voor de versnellende waarnemer is die snelheid uiteraard niet constant, maar neemt toe met de tijd volgens
(voor de afleiding zie
deze pagina):
Voor het gemak schrijf ik even:
Nu ga ik met die
tangens hyperbolicus knutselen:
Ik vermenigvuldig links en rechts met 2π:
Vervolgens ga ik de fasehoek uitrekenen door, zoals het hoort, de hoeksnelheid te
integreren naar de tijd:
In
complexe
e-
machtnotatie
komen we dan tot het volgende signaal:
Hierin is A de amplitude van het signaal.
De volgende stap is om hierop een Fourier-transformatie
uit te voeren zodat ik het spectrum van het signaal krijg:
Vervolgens neem ik de
absolute waarde én het
kwadraat van dit spectrum én ik middel het uit
zodat ik de spectrumdichtheid vind:
Deze
integraal is een uiterst complex verhaal,
en daarom spring ik voor deze ene keer rechtstreeks naar het antwoord:
Ter vergelijking zet ik hier de stralingswet van Planck onder:
Dat rechter stuk noemen we de Planck-factor:
Met iets andere ingrediënten staat die Planck-factor ook helemaal rechts in vergelijking (11).
Dat leidt logischerwijs naar de volgende stap: de
exponenten
van de e-
machten
in de Planck-factor aan elkaar gelijk stellen:
Zo komen we tot het spectaculaire resultaat dat een versnellende waarnemer een deeltje, ook een virtueel deeltje,
registreert als ‘iets’ met een hele echte reële temperatuur!
Ik raadpleeg de
tabel met fysische gegevens:
Constante van Boltzmann
|
k |
1.380649 ∙ 10−23 |
J/K = kg m2/(s2 K) |
Constante van Planck
|
h |
(exact) 6.62607015 ∙ 10−34 |
kg m2/s |
h/(2π) |
1.054571817 ∙ 10−34 |
kg m2/s |
Lichtsnelheid |
c |
(exact) 2.99792458 ∙ 108 |
m/s |
Pi |
π |
3.1415926535897932384626433832795028841971
(voor meer decimalen zie deze pagina) |
|
Waarna een rekenmachine mij vertelt:
Deze temperatuur, de temperatuur van het vacuüm zoals waargenomen door een versnellende waarnemer, staat nu in de
boeken als de Unruh-temperatuur en is recht evenredig met de versnelling van de waarnemer.
Oftewel, het vacuüm van de inertiale (= ‘stilstaande’) waarnemer ‘ziet’ er voor de versnellende waarnemer uit als een warm gas
van vele deeltjes in thermisch evenwicht.