Vectoren, vraagstuk 39

Bereken de volgende integralen. Maak eerst een schets van G en kies geschikte coördinaten.
  1. Vergelijking
    Waarbij:
    Vergelijking
  2. Vergelijking
    Waarbij:
    Vergelijking
  1. Grafiek
    Het integratiegebied G is een cilinder
    Vergelijking
    Het integratiegebied G is een cilinder, dus dan ligt het voor de hand om over te gaan naar cilindercoördinaten:
    Vergelijking
    Vergelijking
    Vergelijking
    Vergelijking
    De te integreren functie wordt dan:
    Vergelijking
    En de grenzen wijzigen in:
    Vergelijking
    Vergelijking
    Dan wordt de integraal:
    Vergelijking
  2. Grafiek
    Het integratiegebied G is het bovenste deel van een bol
    Vergelijking
    Het integratiegebied G is een deel van een bol (het bovenste deel waarbij z ≥ 1/2), dus dan ligt het voor de hand om over te gaan naar bolcoördinaten:
    Vergelijking
    Vergelijking
    Vergelijking
    Vergelijking
    De te integreren functie wordt dan:
    Vergelijking
    En de grenzen wijzigen in:
    Vergelijking
    Vergelijking
    Uit de bovenstaande eisen volgt:
    Vergelijking
    Voor φ = 0 geldt:
    Vergelijking
    Vergelijking
    Vergelijking
    Dat is het topje van de bol en tevens de ondergrens van φ. De bovengrens van φ wordt bereikt voor:
    Vergelijking
    Dan wordt de integraal:
    Vergelijking
    Hoe pakt dit uit met cilindercoördinaten? Er geldt dan:
    Vergelijking
    Vergelijking
    Vergelijking
    Vergelijking
    De te integreren functie wordt dan:
    Vergelijking
    Uit de bovenstaande eisen volgt:
    Vergelijking
    Vergelijking
    En de grenzen wijzigen in:
    Vergelijking
    Vergelijking
    Dan wordt de integraal:
    Vergelijking
    De oplossing van de integraal van ln x kun je vinden in de tabel met integralen.