Dit is de Schwarzschild-oplossing:

En de metrische tensor ziet er dan zo uit: De vergelijkingen die de algemene relativiteitstheorie beschrijven zien er als volgt uit (volledig uitgeschreven in componenten van de metrische tensor, voor de afleiding zie deze pagina): Om te beginnen ga ik alle haakjes wegwerken: Het slechte nieuws is dat dit in totaal 4 × 4² + 11 × 4⁴ + 5 × 4⁶ = 64 + 2816 + 20480 = 23360 termen zijn door alle sommeringen die plaats moeten vinden. Gelukkig is er ook goed nieuws, want zoals vergelijking (2) laat zien is de metrische tensor diagonaal. Oftewel, alle componenten van de metrische tensor die niet op de hoofddiagonaal liggen zijn nul. Ik stel daarom τ = α, ρ = λ en β = δ. Vergelijking (4) komt er dan zo uit te zien: Op deze manier heb ik het aantal dummy indices gehalveerd en nu ga ik wel alle termen uitschrijven. Kijk en huiver: Het aantal termen is teruggebracht van 23360 naar 4 × 4¹ + 11 × 4² + 5 × 4³ = 16 + 176 + 320 = 512 termen, we zijn al bijna 98% van de termen kwijt! Er hebben zich componenten van de metrische tensor gevormd met ongelijke indices en die gooi ik uit de lijst want die zijn nul: En zo is het aantal resterende termen bijna gehalveerd en zijn er nog 236 termen over. Merk op dat iedere diagonale oplossing voldoet aan vergelijking (7), niet alleen specifiek de Schwarzschild-oplossing.

Een blik op de metrische tensor vertelt mij: Het is nu de hoogste tijd om eens wat partiële afgeleiden te gaan bepalen, waarbij ik in de vergelijkingen (1) en (2) aflees dat x⁰ = t, x¹ = r, x² = φ en x³ = θ: Hiermee reduceert vergelijking (7) verder, en ik stel ook het rechterlid gelijk aan nul want de Schwarzschild-oplossing geldt voor een lege ruimte: Nog 70 termen over, het wordt steeds overzichtelijker. Nu ga ik μ en ν laten varieren van 0 tot en met 3, maar omdat de metrische tensor symmetrisch is levert dat (gelukkig) ‘slechts’ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 vergelijkingen op (en geen 4 × 4 = 16): Er hebben zich weer componenten van de metrische tensor gevormd met ongelijke indices en die gooi ik wederom uit de lijst want die zijn nul. Verder verwijder ik ook gelijk de afgeleiden die nul opleveren. Er blijft dan dit over: Van de tien vergelijkingen zijn er vijf verdwenen (alle termen waren nul) en we hebben er dus nog vijf over. De volgende stap is om termen samen te nemen en/of tegen elkaar weg te strepen: Zoals de vergelijkingen (9) hebben laten zien zijn alle afgeleiden naar x⁰ = t gelijk aan nul en dit geldt ook voor alle afgeleiden naar x² = φ. De eerste afgeleiden die niet nul zijn ga ik nogmaals differentiëren, maar alleen naar x¹ = r en naar x³ = θ: Ik ga de determinant bepalen van de metrische tensor: Hiermee kan ik de contravariante componenten bepalen van de metrische tensor: En die worden dus: Hieruit volgt (uiteraard): Met de vergelijkingen (18) kan ik de vergelijkingen (13) verder reduceren, ik vermenigvuldig alle termen met twee en ik deel componenten van de metrische tensor uit waar mogelijk: Ik stel: Hiermee worden alle ingrediënten die ik onderweg verzameld heb een stuk compacter: Dan komt nu het uur van de waarheid, ik ga alle ingrediënten volgens de vergelijkingen (21) invullen in de vergelijkingen (19): Het komt perfect uit! Uiteindelijk vallen alle termen in de linkerleden van de resterende vijf vergelijkingen precies tegen elkaar weg. Kortom, de Schwarzschild-oplossing is absoluut een exacte oplossing van de vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie.