Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De transformatievergelijking voor de amplitude van EM-golven

De transformatievergelijking voor de amplitude van EM-golven

Hoe transformeert de amplitude van elektromagnetische golven indien waargenomen vanuit een ander stelsel dat met een constante snelheid beweegt?

Stel we hebben de volgende sinusfunctie:

Door deze functie te integreren kan ik het oppervlak A berekenen van één sinusbult:

Nu gaan we dit ogenschijnlijk simpele resultaat eens goed overdenken. Licht bestaat uit elektromagnetische golven, dit zijn golven met elektrische velden en magnetische velden die in de tijd variëren.

Elektromagnetische golven

Wanneer ik een golf teken die een elektrisch veld representeert dan staat horizontaal (op de x-as) de golflengte uitgezet en verticaal (op de y-as) de sterkte van het elektrische veld op iedere plaats in de golf.

Volta

De oppervlakte van de golf is dus y maal x, oftewel elektrisch veld maal afstand. De eenheid van het elektrische veld is Volt-per-meter en daarmee wordt het oppervlak van de golf gegeven in Volt-per-meter maal meter is Volt. Indien je een magneet naar een spoel beweegt of een spoel naar een magneet maakt niet uit, in beide gevallen wordt dezelfde spanning opgewekt aan de uiteinden van de spoel. Met andere woorden, spanning is onafhankelijk van de beweging van de waarnemer net als de lichtsnelheid. Om het heel netjes te zeggen: spanning en lichtsnelheid zijn invariant. De eenheid van spanning is Volt dus dit brengt ons bij de conclusie dat de oppervlakte van een sinusbult van het elektrische veld ook invariant is en daarmee ook de breuk u/η.

Doppler

De variabele η, het deel achter de sinus, heb ik bij het relativistische Doppler-effect uitgebreid onder de loep genomen en deze transformeert als volgt voor twee waarnemers die ten opzichte van elkaar met een snelheid v bewegen:

Omdat de breuk u/η dus invariant is betekent dit voor de amplitude:

Ampère

Voor het magnetische veld geldt een analoge redenering omdat de eenheid van dit veld Ampère-per-meter is, en stroom net als spanning invariant is. De amplitude van elektromagnetische golven transformeert dus op dezelfde wijze als de frequentie van de golven omdat het quotiënt van beide (amplitude/frequentie) invariant is.

Tot slot wil ik nog opmerken dat de snelheid positief is indien de bron van de elektromagnetische golven zich verwijdert van de waarnemer en de snelheid is negatief indien bron en waarnemer elkaar naderen. In het laatste geval worden in de vergelijkingen (3) en (4) de plussen minnen en vice versa (of beter gezegd: β wordt negatief).

De grafiek van u’/u als functie van β,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn),
de bron verwijdert zich van de waarnemer

De grafiek van u’/u als functie van β,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn),
de bron nadert de waarnemer